[科普中国]-狄利克雷乘积

定义

设f(n)、g(n)是两个数论函数，它们的Dirichlet(狄利克雷)乘积也是一个数论函数，其定义为：1

简记为h(n)=f(n)*g(n)。

函数f(n)与g(n)的狄利克雷乘积也可以表示为

性质狄利克雷乘积有以下基本性质：2

1.满足结合律。设f，g，h为任意三个数论函数，则(f*g)*h=f*(g*h)。

2.满足交换律。设f，g为任意二个数论函数，则f*g=g*f。

3.对于所有的数论函数f(n)，均有f(n)*I(n)=I(n)*f(n)=f(n)，故I(n)在狄利克雷乘积中有单位元的作用，简称I(n)为单位数论函数，或称I(n)为卷积单位元。

4.若f(n)，g(n)均为积性函数，则f*g亦为积性函数，反之，若g(n)与(f*g)(n)都是积性函数，则f(n)亦为积性函 数。特别地，当F=f*μ为积性函数时，f(n)亦为积性函数。

5.若g(n)是完全积性函数，且h=f*g，则f=h*μg，即若

则

常用乘积常用的狄利克雷乘积有2:

1.,即

2.,其中N(n)=n,即

3.,其中N(n)=n,即

4.

5.