[科普中国]-不可约元素

定义

不可约元素是抽象代数中的名词，是指在整环或者非整环中一个非零、非单位的元素。

不可约元素(irreducible element)一类特殊的元素，是格中的一类非最小元素，格1非最小元素a。若满足当a=bV时必有a=6或a=c，则称a为结一不可约元素。简言之，此类元素不可能表示为其他二元素之结，对称地有交一不可约元素，它不可能表示为其他二元素之交。结一不可约元素和交一不可约元素统称为不可约元素，当格L为单链C时，其所有元素均为不可约元素。2

与质元素的关系 不可约元素和质元素不同，交换环内的非零、非单位元素 为质元素，表示若在交换环 内存在b及c，使得 a|bc，则 a|b或 a|c必定有一个成立。2

在整环中，每一个质元素都是不可约元素，但一般而言，不可约元素不会是质元素。只有在唯一分解整环（或范围更广的GCD环）中的不可约元素才一定是质元素。

再者，一个用质元素产生的理想为素理想，但由不可约元素产生的理想一般不会是不可约理想。不过，若D为GCD环，且x为D环中的不可约元素，则产生的理想会是素理想。

应用证明：交换环中每一个质元素都是不可约元素。

考虑 p为一个可约的质元素： p=ab，则 或 。假如 ，则可得 。因为R为整环，因此可得 cb=1。因此b为单位元素，而p是不可约元素。1

举例这个反例说明并非每一个不可约元素都是质元素。

在二次整数环中，可以用范数证明 3 是不可约元素。不过，3 不是质元素，因为

但3无法整除 ，也无法整除 。