[科普中国]-一般线性群

简介

如果V是在域F上的向量空间，V的一般线性群，写为GL(V)或Aut(V)，是V的所有自同构的群，就是说所有自同构V→V的集合，和与之一起的函数复合作为群运算。如果V有有限维n，则GL(V)和GL(n,F)是同构的。这个同构不是规范的；它依赖于在V中基的选择。给定V的一组基 (e1, ...,en)和GL(V)中自同构T，则

对于某些F中的常量ajk；对应于T的矩阵就是由ajk作为元素的矩阵。

以类似的方式，对于交换环R群GL(n,R)可以被解释为n秩的自由R-模的自同构的群。还可以对任何模定义GL(M)，但是这一般不同构于GL(n,R)（对于任何n）。1

定义一般线性群亦称全线性群。一类重要的典型群。若V是体K上n维右线性空间，则V上全体可逆线性变换在映射的乘法下构成一个群，称为V上的一般线性群或全线性群，记为GL(V)。体K上全体n×n可逆方阵在矩阵乘法下构成一个群，称为K上n次一般线性群，记为GLn(K)或GL(n，K)。取定V在K上任一组基后可将每个g∈GL(V)对应一个矩阵A∈GLn(K)，从而得到GL(V)到GLn(K)上的一个同构。在这个意义下，可以将GL(V)与GLn(K)等同起来。

群群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

典型群典型群是一类重要的群。一般线性群、酉群、辛群、正交群，以及它们的换位子群、对中心的商群等统称为典型群。实数域和复数域上的典型群是李群的重要例子，它们的构造及表示在李群理论、几何学、多复变函数论以至物理学中都起着重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通过对有限域上典型群的构造的研究得到了一大批有限单群.这是继交错群之后人们发现的又一批重要的有限单群系列。经过谢瓦莱(Chevalley，C.)的工作进一步扩展为有限李型单群的系列后，为有限单群分类的最后完成奠定了一个重要基础。迪厄多内(Dieudonné，J.)将迪克森的工作加以推广，通过研究任意体上的典型群的构造也得到了大量的单群。迪厄多内、施赖埃尔(Schreier，O.)、范·德·瓦尔登(Van der Waerden，B.L.)、华罗庚、万哲先等对研究典型群的构造、自同构及同构作出了重要贡献。2

相似群酉群酉群是一类重要的典型群。在复数域的特殊情形，全体n×n酉方阵在矩阵乘法下构成的群称为n次酉群，记为U(n)。一般地，设K是带有对合J：a→a-的体，V是K上n维列向量空间，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，这里H∈GLn(K)且=εH，ε=±1。若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)对所有的x，y∈V成立，则称A是关于f的酉变换。关于f的全体酉变换组成GL(V)的一个子群，称为关于f的酉群，记为Un(K，f)。从矩阵的观点看，Un(K，f)={A∈GLn(K)|HA=H}。当f是交错双线性型时Un(K，f)就是辛群Spn(K，f);当K的特征≠2且f是对称双线性型时Un(K，f)就是正交群On(K，f);当K是复数域，J是复共轭，H=I时，酉群Un(K，f)就是酉群U(n)。3

辛群辛群是一类重要的群。辛空间的自同构群。设(V，ω)是一辛空间，若φ：V→V是线性同构且满足ω(φX，φY)=ω(X，Y)，X，Y∈V，则称φ为(V，ω)的一个自同构.(V，ω)的自同构全体构成群GL(V)的一个子群，记为SP(V，ω)。特别地，标准辛空间(K，ω)的自同构群记为Sp(2n，K)。若K=R(实数域)，则把Sp(2n，K)简记为Sp(2n)并称它为2n维辛群。

正交群正交群是一类重要的典型群。在实数域的特殊情形，全体n×n正交方阵在矩阵乘法下构成的群称为n次正交群，记为O(n)。一般地，设V是域K上n维列向量空间，Q(x)=xAx是V上的非退化二次型(A是K上某个n×n矩阵)，若g∈GL(V)使Q(gx)=Q(x)对所有的x∈V成立，则称g是关于Q的正交变换。关于Q的全体正交变换在映射乘法下构成一个群，称为关于Q的正交群，记为On(K，Q).当K的特征≠2时，V上每个非退化对称双线性型f也决定一个正交群：

其中Q(x)=f(x，x)/2.当K是实数域，Q是单位二次型Q(x)=x·x时的正交群On(K，Q)就是O(n)。4