[科普中国]-正规闭包

正规闭包(normal closure)是一种特殊的正规子群，群中包含某个子集的最小正规子群。代数扩张K/F称为正规扩张，是指F[X]中每个在K中有根的既约多项式，在K[X]中可以分解为一次因子的乘积，它等价于K的任意元α在F上的最小多项式在K[x]中可以分解为一次因子的乘积。一个代数扩张K/F的正规闭包是指F的一个正规扩张，它包含K且它包含的K的任意真子域在F上都不是正规的。

基本介绍正规扩张(normal extension)是一种重要的代数扩张，它与多项式的分裂域密切相关，代数扩张称为正规扩张，是指中每个在中有根的既约多项式，在中可以分解为一次因子的乘积，它等价于的任意元在上的最小多项式在中可以分解为一次因子的乘积。一个代数扩张的正规闭包是指的一个正规扩张，它包含且它包含的的任意真子域在上都不是正规的。值得注意的是，即使是正规扩张，也不能推出是正规的。例如，对域链

都是正规的，但不是正规的1。

相关定义及定理定义1 设 为域扩张， ，如果 在 中完全分解为一次因子的积，则称 在 中分裂。

定义2 一个域扩张 称作正规的，如果 中的任一不可约多项式若在 中有零点则在 中分裂2。

命题1 对一个有限域扩张 ，下列三条件等价：

i) L是K的正规扩域；

ii) L是 中一个多项式的分裂域；

iii) 对任一域扩张 及任意 。

注1 对无限代数扩张，只要将ii)中的“一个多项式”改为“一组多项式”，命题1仍成立(在多项式个数不可数的情形需要用超限归纳法证明)。

定义3 设 为域扩张，其中F是K的正规扩域，如果F的任一包含L的真子域都不是K的正规扩域，则称F为L在K上的一个正规闭包(直观地说它是K的包含L的最小正规扩张)。

推论1 对任意代数扩张存在正规闭包F，它是L中所有元在K上的定义多项式的一个分裂域，且的正规闭包在-代数同构之下是唯一的。此外，任意的元可以扩张为的元。

推论2 设为域扩张，如果存在一个K的正规扩域使得对任意有，则为正规扩张2。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学