[科普中国]-对称算子

定义

设T是作用在希尔伯特空间H上的稠定算子，如果对任意有。亦即 ，则称T是对称算子。

每个对称算子都有闭的对称扩张。如果对称算子T没有真的对称扩张，即若且S是对称算子一定有成立时，则称T是极大对称的（maximally symmetric ）。

在一定条件下，对称算子与等距算子可通过凯莱变换相互转化。

凯莱变换凯莱变换在对称算子和部分等距算子之间建立了一种对应关系。设H是希尔伯特空间，是闭对称算子，则都是单射，且其值域都是H的闭子空间。

凯莱变换 [Cayley transform] 凯莱变换在对称算子和部分距算子之间建立了一种对应关系。设 H 希尔伯特空间，是对称算子，则都是单射，且其值域都是H的闭子空间。定义了从到上的等距算子，称为 T 的凯莱变换。反之，对于 H 上的部分等距算子 U ，若是单射，则是闭对称算子且 T 的凯莱变换就是 U 。

把凯莱变换中的换成任意虚部不为零的复数，类似的讨论几乎仍然成立。此时，T 是自伴算子当且仅当是 H 上的酉算子。1