[科普中国]-伯恩赛德问题

简介

伯恩赛德问题(Burnside problem)是群论发展史上的一个著名问题。伯恩赛德(W.Burnside)于1902年提出的问题。伯恩赛德(W.Burnside)于1902年提出的问题：有限生成的具有有限方指数的群是有限群吗?这个问题意想不到的困难，它在群论发展史以及代数发展史上都起过重要作用。后来有所谓广义伯恩赛德问题：有限生成的挠群(即每元的阶有限但方指数不必有限的群)是有限群吗?对广义伯恩赛德问题，哥洛德(E.S.Golod)于1964年给出了否定回答。他的反例是一个有限生成的无限p群。对伯恩赛德问题，阿江(S.I.Adjan)等人于1968年给出了否定回答，当方指数是充分大的奇数和生成元多于1个时，伯恩赛德讲的群不一定是有限群。后来阿江进一步做了更细致的工作。

意义伯恩赛德问题是涉及有限单群分类的重要课题。英国数学家伯恩赛德(W.Burnside)提出的群论问题。其中之一是：是否存在奇数阶不可解有限群?换言之，是否所有非阿贝尔单群都是偶数阶群?这个问题是在1897年提出的。他在《有限阶群论》(1897年)中，证明了所有阶数为pq的群皆为可解群，其中p，q是素数，且a，b≥0。这是有限单群分类问题早期最重要的工作，它说明非交换有限单群的阶至少有3个不同的素因数。1964年，美国数学家费特(W.Feit)和汤普森(J.G.Thompson)在《太平洋数学杂志》上发表了题为“奇数阶群都是可解的”长达255页的论文，证明了奇数阶群都是可解群，因而伯恩赛德问题最终获得解决。不仅如此，这个结论也是单群分类中最重要的一个定理，它标志着有限单群分类的重大突破。汤普森也因此在1970年荣获菲尔茨奖。1

群论研究具有一种结合法的特殊代数系——群的科学。代数学的分支学科。如果在元素集合G中定义了一种叫乘法的运算，并且这个运算满足下面四个条件： (1) 对任意f，g∈G，必有 fg∈G；(2) 对任意f，g，h∈G，都有 (fg) h=f (gh)；(3) G中有唯一的e，使得对G中任意元素f 都有ef=fe=f；(4) 对G中任意元素f-1，在G中有唯一的f使得f-1f=ff-1=e。那么，称G为群。各种群的结构、各种群运算的性质及群的应用，是群论研究的对象。

群论研究的内容十分丰富。概括起来主要包括有限群论、有限生成群、一般群论、群表示论等。本世纪20年代量子力学诞生之前，群论只是一个纯粹的数学分支。而后，在物理学中，群论的方法导致了有关原子和分子结构的重大发展。现在，群论已经是量子物理学和量子化学经常用到的工具。因此，群论是蓬勃发展的、具有广阔应用前景的学科。

有限群具有有限多个元素的群，是群论的重要内容之一。其所含元素的个数，称为有限群的阶。历史上，抽象群论的许多概念起源于有限群论。有限群可分为两大类：可解群与非可解群(即单群)。

有限群的研究起源很早，其形成时期是与柯西、拉格朗日、高斯、阿贝尔以及后来的伽罗瓦、若尔当等人的名字相联系的。如何确定可解群和单群是抽象群理论建立后的一个重要发展方向。德国数学家赫尔德在1889年以后的若干年内，详细地研究了单群和可解群，证明：一个素数阶循环群是单群，n个(n≥5)文字的全部偶置换组成的交换群是单群。他还发现了许多其他有限的单群。赫尔德和若尔当还建立了在有限群中的若尔当—赫尔德合成群列和若尔当—赫尔德定理。在19世纪末，德国数学家弗罗贝尼乌斯、迪克和英国数学家伯恩塞德等都致力于可解群的研究。20世纪初伯恩塞德证明的关于paqb(p、q是素数)必是可解群的定理，导致了对有限单群进行分类的重要研究。美国数学家汤普森和菲特在20世纪60年代初证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想(见伯恩塞德猜想)：奇数阶群一定是可解群。它推动了有限群理论的发展。有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经过上百名数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的一个非凡成就。 2

人物简介伯恩赛德英国数学家。生于伦敦，卒于西威克姆(West Wickham)。对数学物理学，复值函数论、几何学、群论和概率论等不同分支均有贡献，1893年成为皇家学会会员。伯恩赛德的最大成就是在群论方面。他的《有限阶群论》(Theory of Groups of Fi-nite Order，1897)是英国第一部有关群论的专著，1911年再版后风行一时，成为该论题的代表作。他曾提出并解决了群论中的许多重要问题。例如，他利用群特征标证明了每一个素数次的可迁群是可解的或二重可迁的(1901)，每一个paqb(p、q为素数)阶的群是可解的。他发现奇数阶的群不能有非平凡的实的不可约表示，因而对每个奇数阶的群是可解的问题发生怀疑。

费特美国数学家。1930年10月26日生于奥地利维也纳。在英国长大，1946年到美国，毕业于芝加哥大学。1954年获密执安大学博士学位；1953—1964年任教于康奈尔大学，但实际在校时间不多；1955—1957年服兵役；1958—1959年在普林斯顿高级研究所、1960—1961年在芝加哥大学、1963—1964年在哈佛大学工作。1964年起任耶鲁大学数学教授。1977年被选为美国全国科学院院士。

费特的贡献主要在代数领域，最重要的是1963年他和J·G·汤普森合作证明了著名的伯恩赛德猜想，即奇数阶群是可解的。他曾系统地研究过察森豪斯(Zassenhaus)群，并取得了重要成果。60年代中期开始，他在群论的多个方面和模表示理论方面作了研究。他还给出了康韦群的一些整数表示。

1964年，费特因证明了伯恩赛德猜想与汤普森一起获美国数学会柯尔奖。著有《有限群特征标》(Characters ofFinite Groups， 1967)。

汤普森美国数学家。生于奥塔瓦。1955年毕业于耶鲁大学。1959年获博士学位。1962年任芝加哥大学教授。1968年赴英国，任剑桥大学丘吉尔学院研究员，1970年以后兼任剑桥大学劳斯·鲍尔纯粹数学讲座教授。汤普森以对有限群论的研究而著称。1963年，他与美国数学家菲特(W. Feit，1930—)共同肯定地证明了代数学中的伯恩塞德猜想，即“除了只含素数个元素的循环群外，一切有限单群都是含偶数个元素的”。这个定理的证明发表在1963年的《太平洋数学杂志》上，题为《奇数阶群是可解的》。1966年，汤普森又解决了弗罗贝尼乌斯猜想。1968年他到剑桥大学工作，发表了总标题为《论其局部子群皆可解的不可解有限群》的6篇论文。这些论文已成为有限单群理论的重要文献。其中，汤普森引进了许多新的思想和技巧，开拓了一系列新的研究方向。由于他在有限群论方面的贡献而荣获1970年的菲尔兹奖。后来他又从希尔伯特不可约定理出发，构造数域的伽罗瓦群，得出近百年来这一领域的最大进展。1992年又获沃尔夫奖。汤普森被选为美国国家科学院院士(1971)、伦敦皇家学会会员(1979)，还获得过许多其他奖励。 3