[科普中国]-交错多重线性映射

简介

交错多重线性映射(alternating multilinear mapping)是一种特殊的反对称多重线性映射。设

为多重线性映射（其中V，W都是域K上的线性空间），若对任意的 ，当 时，必有 ，则称 为交错多重线性映射。由于偶(奇)置换必可分解为偶(奇)数个对换之积，利用 的多重线性性质展开 ，即知交错多重线性映射一定是反对称多重线性映射，反过来未必成立，但在K的特征不为2(特别是K的特征为0，例如K=C时)二者是等价的概念。2

性质E及F重新表示两个赋范巴拿赫空间。

命题：设f∈￡p(E;F)是一个交错多重线性映射，那么：

（1）每当对于一对不同的指标（i，j），我们有xi=xj时，就有f(x1,…,xp)=0；

（2）对于序列[1,…,p]的任何排列σ，我们有

其中ε(σ)=±1是排列σ的标记。1

反对称多重线性映射一类重要的多重线性映射。关于G和χ对称的多重线性映射

当G=Sm，χ=ε（称号特征标，σ∈Sm为偶（奇）置换时ε(σ)=1(-1)）时，称为反对称多重线性映射，简称反对称映射。或等价地定义为：当对任意σ∈Sm有

时，称为反对称多重线性映射。当域K的特征为0时，多重线性映射

为反对称的当且仅当对任意的（i≠j），当时，有。在域K之特征非0时，这二者未必等价。2

交错多重线性映射的乘法设并且为了定义 f 及 g 之间的乘积，必须先给出一个连续双线性映射

（在一个赋范e.v.H中取值）。于是连带着 f 及 g，可取一映射，即

映射 h 显然是连续多重线性的。但它一般不是交错的：它只属于（p+q）重线性映射的向量空间；这种映射作为前p个变量的映射是交错的，作为后q个变量的映射也是交错的，把这种空间记作。1