[科普中国]-布尔方程

定义

设 是一个布尔代数，所谓 上的n元布尔方程是指如下的含有n个待定元的布尔函数f(X)及g(X)所组成的等式

类似的，我们可用

及

分别定义布尔不等方程及(广义)布尔方程组，其中“ ”既可以是“=”，也可以是“≤”，布尔方程的（特）解是指满足 的一个向量X∈ ；布尔不等方程及(广义)布尔方程组的(特)解的定义类似2。

0-1布尔方程定义 若 是布尔函数， ，则

及

分别称为（布尔）0方程与（布尔）1方程，它们又合称为**（布尔）0-1方程或0-1****布尔方程**。2

1元布尔方程仅含1个特定元的(广义)布尔方程，简称为1元(广义)布尔方程2

由下文定理1知，每一个1元广义布尔方程都可以写成如下的0方程

这个0方程必定可写成如下的标准形

其中a，b为布尔常量。

在每一个方程中都要区分哪些是待定元(未知元)，哪些是系数(已经给定的元)，例如，在1元标准形布尔方程

中，x(及x’)是未知元，而a与b是系数，但是在通常的定理中则没有此种区别。

重要定理定理1每一个形如2

的广义布尔方程(m=1的情况)或广义布尔方程组(m>1的情况)都等价于一个0-1布尔方程。

定理2若B是布尔集；a，b∈B，则下列语句等价：2

①

②

③

④1元布尔方程 是否有解(即：是否存在一个x∈B)使上式成立与系数a与b有关，方程有解的充要条件是有：

此外，x是1元布尔方程的解的充要条件是

定理3若ab=0，则2

及