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[科普中国]-收敛级数

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预备知识数项级数的定义

给定一个数列 ,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 “ ” 称为数项级数,或称为无穷级数,也可以简称为级数,其中 称为数项级数的通项。

上述数项级数常写作: ,或者简单记作 。1

数项级数的前n项和数项级数的前 n 项和记作 ,且有 。1

部分和数列称数列 ,即数列 为数项级数 的部分和数列。1

定义若数项级数 的部分和数列 收敛于 (即 ),则称数项级数 收敛,即 为收敛级数,且称 为数项级数 的和,记作 。1

收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类,其性质与有限和(有限项相加)相比有本质的差别,例如交换律和结合律对它不一定成立,收敛级数概念是柯西于1821年引进的。

基本性质性质1设 k 为常数,如果级数 收敛于 ,则级数 也收敛,且收敛于

证明:设级数 的部分和分别为

则有

于是 ,这就表明级数 也收敛,且收敛于

注:由关系式 可知,如果数列 没有极限且 ,那么 也没有极限。由此我们得到结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的收敛性不变。2

性质2如果级数 分别收敛于 ,则级数 也收敛,且收敛到

证明:设级数 的部分和分别为

则级数 的部分和为

于是 ,这就表明了级数 收敛,且收敛于

注意:性质2说明,两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数。2

性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性。

证明:我们只需证明“在级数的前面部分去掉、加上有限项,不会改变级数的收敛性”,因为其他情形(即在级数中去掉、加上或改变有限项的情形)都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项,然后再加上有限项的结果。

以去掉k项为例,设级数为

去掉前 k 项,得到新的级数

记原级数前 k+n 项的和为 ,前 k 项和为 ,去掉前 k 项得到的新级数的前 n 项和为

则有

易得当 时, 同时有极限,或者同时没有极限,

即级数 同时收敛或同时发散。

类似的,可以证明在级数前面加上有限项,不会改变级数的收敛性。2

性质4若级数 收敛,则对此级数的项任意加括号后所得的级数

仍然收敛,且其和不变。

证明:设级数 的前 n 项部分和 ,加括号后所成的级数的前 k 项的和为 ,则有:

...

可见,数列是数列的一个子数列。由数列的收敛性以及收敛子列与其子列的关系可知:数列必定收敛,且有。这说明了加括号后所成的级数收敛,且其和不变。

注意:如果加括号后所成的级数发散,则原级数也发散。2

性质5如果级数收敛,则必有。3

常用级数收敛性等比级数(几何级数)等比级数 :

(1)当 时,收敛,且收敛于

(2)当时,发散。4

p级数p级数:

(1)当 p>1 时,收敛;

(2)当 p ≤1时,发散。4