[科普中国]-自然映射

自然映射是一种重要的映射，亦称正规映射、典型映射。自然映射是满射；反之，若f为满射，则f可分解为一个自然映射与一个双射的积。1

定义自然映射一种重要的映射，亦称正规映射、典型映射。1

设R是集合A上的等价关系，若映射g：A→A/R对当a∈A有g(a)=[a]R，则g称为A关于等价关系R的自然映射，记为nR.1

注：自然映射nR把A的元素a映射成它的等价类[a]R，即nR(a)=[a]R.1

性质自然映射是满射。反之，设f：A→B是满射，则

是A的直和分解。而{f-1(b)}b∈B是A的划分，若由此划分定义的等价关系为R，则当f(a)=b时，[a]R=f-1(b)，于是f可分解为一个自然映射与一个双射的积：f=g°nR，这里g：f-1(b)→b.1

举例例 设A={a,b,c,d,e,f}={某大学宿舍的大学生}；R是A上的同乡关系（不难证明同乡关系是等价关系），若a,b是北京人，c是广东人，d,e,f是南京人，则R={(a,a)，(a,b)，(b,a)，(b,b)，(c,c)，(d,d)，(d,e)，(d,f)，(e,d)，(e,e)，(e,f)，(f,d)，(f,e)，(f,f)}. A关于R的商集A/R={[a]R,[c]R,[d]R}={{a,b},{c},{d,e,f}}.

A中各元素关于R的等价类（自然映射）分别是：

[a]R=[b]R={a,b}；

[c]R={c}；

[d]R=[e]R=[f]R={d,e,f}.1

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所