[科普中国]-斜对称行列式

行列式中若关于主对角线对称的元素仅符号相反，即aij=-aji，则行列式叫做斜对称行列式。对于n阶斜对称行列式d有关系式d=(一1)nd，从而可知奇数阶的斜对称行列式总是等于01。

定义斜对称行列式(skew-symmetric determinant)是类似于斜对称矩阵的一种特殊行列式。一个行列式，如果其主对角线上的元素全为零，而关于主对角线对称位置上的元素绝对值相等符号相反，则称为斜对称行列式。方阵1

或其行列式，当 时（因此 ），叫做斜对称方阵或斜对称行列式。例如

相关定理定理1 方阵A为斜对称的必要及充分条件为 。

定理2 为斜对称是在且仅在 为斜对称时。

定理3 奇数次斜对称方阵（或其行列式）的附属方阵（或其行列式）为对称的的，但偶数次斜对称方阵（或其行列式）的附属方阵（或其行列式）仍为斜对称的。

定理4 满秩斜对称方阵 的逆方阵 亦为斜对称的。

定理5 偶数次斜对称行列式中主对角线上的元素的余因式均等于0。

定理6 奇数次斜对称行列式恒等于零（或奇数次斜对称方阵为降秩的）。

定理7 偶数次斜对称行列式为其元素的某多项式的完全平方。

定理8 若 为n次降秩斜对称方阵，则 。

定理9若 为奇数次斜对称方阵时，则 。

定理10若 为偶数次斜对称方阵时，则任何余因式 等于零。偶数次降秩斜对称方阵的附属附属方阵为零方阵2。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学