[科普中国]-希尔伯特不可约性定理

概念

希尔伯特不可约性定理(Hilbert theorem of irreducibility)是在伽罗瓦理论中占有重要地位的一个定理。对有理数域Q上两组不定元t1，t2，…，tn;x1，x2，…，xs的多项式环Q[t1，t2，…，tn;x1，x2，…，xs]，希尔伯特(Hilbert，D.)证明：若1

是不可约多项式，则存在无限多组(c1，c2，…，cn)∈Qn，使得f(c1，c2，…，cn;x1，x2，…，xs)为Q[x1，x2，…，xs]中的不可约多项式。这个定理称为希尔伯特不可约性定理。除有理数域外，这个定理对另外一些域也成立。

对任意域F及F上两组不定元t1，t2，…，tn;x1，x2，…，xs，设f1，f2，…，fm是F(t1，t2，…，tn)[x1，x2，…，xs]中的不可约多项式，g∈F[t1，t2，…，tn]是非零多项式，所有使得g(a1，a2，…，an)≠0，fi(a1，a2，…，an;x1，x2，…，xs)(i=1，2，…，m)有定义且在F[x1，x2，…，xs]中不可约的(a1，a2，…，an)的集合，是F的子集，称为F的希尔伯特子集，有时也称为F的希尔伯特集，记为HF(f1，f2，…，fm;g)。若F的希尔伯特集非空，则称F是希尔伯特域。希尔伯特域必是无限域，而且它的任意有限可分扩张仍然是希尔伯特域。特别地，整体域和一个无限域上几个变元的函数域是希尔伯特域，它们称为经典希尔伯特域。若不可约多项式：

关于变元xi是可分的且首1的，集合：

称为F的可分希尔伯特集。若域F的形式为HF(f)的可分希伯特集非空，则称F为可分的希尔伯特域。

伽罗瓦理论设K是一个域，设Aut(K)是K的所有自同构做成的集合，在映射复合之下Aut(K)做成一个群，称为K的全体自同构群。设F是K的子域，令G (K/F) ={σ∈Aut(K)|σ(a)=a，a∈F}，它是Aut(K)的子群，称为K的F-自同构群。设G是Aut(K)的一个子群，令K= {a∈K|σ(a)=a，σ∈G}，它是K的一个子域，称为群G的固定域。G(K/F)也记作GK(F)。设K/F是一个代数扩张，下面3个条件等价： (1) K是F的可分正规扩域。(2)F=KK(F)。(3)存在GK(F)的子群G，使得F=KG。满足这些条件的F的扩域K称为F的一个伽罗瓦扩域，K/F称为伽罗瓦扩张，GK(F)=G(K/F)称为K/F的伽罗瓦解。K是F上的有限次伽罗瓦扩域当且仅当K是F上一切可分的不可约多项式乘积的分裂域。设E是伽罗瓦扩张K/F的中间域，则K/E也是伽罗瓦扩张。设K/F是有限次伽罗瓦扩张，G=G(K/F)是K/F的伽罗瓦群，对于G的子群H，令E=K是K的固定域，则H↔K给出了G的所有子群与K/F的所有中间域之间的一一对应。这个结论称为伽罗瓦理论的基本定理。设K/F是一个域扩张，如果存在K/F的一串中间域F=F0，F1，…，Fr=K：使得K，Fi=Fi-1(ai)，aii∈Fi-1，i=1，…，r，其中ni是一个不能被CharF整除的正整数。设F是一个域，f(x)∈f[x]，方程f(x)=0称为在F上可以用根号解，如果存在F的一个根号扩域，使得f(x)的全部根都在K中。设K是一个域，t1，…，tn是K上的无关未定元，令F=K(t1，…，tn)是K上t1，…，tn的有理分式域，多项式f(x)=x-t1x+t2x-…+(-1)tn∈F[x]称为K上n次一般方程，设K是一个特征为0的域，则K上n次一般方程在F=K(t1，…，tn)上可以用根号解当且仅当n≤4。利用伽罗瓦理论基本定理还可以证明x-4x+2=0等方程在有理数域上不能用根号解。2

可分扩张一种重要的域扩张。其特征为p的域F的任意扩张K/F，Ω是K的代数闭包，若K与：

在F上是线性分离的，则称K/F是可分扩张。当F是完备域时，F上任何扩张都是可分扩张。当K/F是代数扩张时，若α∈K在F上的最小多项式是可分多项式，则称α是(F上的)可分代数元(简称F上可分元)。若K中每个元均为F上可分元，则称K是F上可分扩张。若K/F有一个超越基S，使得K是可分的，则称S是可分超越基。若K/F有这样一个可分超越基，则称此扩张K/F是可分生成的。完备域上的有限生成扩张均为可分生成扩张。可分扩张具有传递性。当K/F是有限生成，而且是可分扩张时，K/F是可分生成的。反之，可分生成的扩张必然是可分扩张。

希尔伯特德国数学家。出生于普鲁士的哥尼斯堡。1882—1885年在哥尼斯堡大学学习。在学期间，受到著名数学家雅可比、维尔斯特拉斯、费·纽曼、韦伯等人的指导，大大激发了数学兴趣和才能。他的两上好友A·胡尔威茨和闵可夫斯基对他数学方面的成长也产生过巨大的影响。 1885年，他因不变式理论方面的论文获博士学位。 1892年任母校的数学副教授。1895年由F·克莱因的提议担任了哥廷根大学的教授。哥廷根大学是具有优秀数学传统的学府，高斯、黎曼等人曾在这里工作。希尔伯特在这里团结了一大批当代的著名数学家和物理学家，使哥廷根成了20世纪前期世界数学的中心与理论物理学家聚会的场所。他逝世的前一年被柏林科学院授予荣誉院士的称号。希尔伯特不愧是本世纪领头的数学家。他的数学兴趣十分广泛，并且所到之处都留下了光辉足迹。早期研究不变式理论。采用直接的、非算法的方法证明了果尔丹证明的代数不变式整基有限完备系的存在定理，对后来的抽象代数的发展起了推动作用。重新整理了欧几里得几何的公理体系，于1899年发表了 《几何基础》一书，把欧几里得几何整理为从公理出发的纯粹演绎系统，并把注意力转移到公理系统的逻辑结构，成为近代公理化思想的代表作。他提出的狄里克莱原理以及对积分方程、变分法、华林问题的研究，在数学史上都很有意义。晚年致力于数学基础问题，把公理系统的无矛盾性看成数学可靠性的标准，是数学基础中形式主义学派的代表人物。1990年他在巴黎国际数学家代表会上的讲演中提出23个数学问题，概括了19世纪数学发展中暴露的主要问题，后来称为希尔伯特问题。对西方的数学研究有较大的影响。希尔伯特为后人留下的著作有《数论报告》、《线性积分方程一般理论基础》、《几何基础》，以及其他论文3卷，还有与别人合写的 《数理逻辑基础》、《数学物理方法》、《直观几何学》、《数学基础》。3