[科普中国]-对偶图形

简介

对偶图形(dual figures)，具有特定关系的两个图形。指成对偶对应的几何图形。射影几何中一个图形与把其中的各个几何元素换成对偶元素，把其中的各个运算换成对偶运算而得到的另一个图形间的关系。

例如，在射影平面上，把由点和直线所组成的一个图形中的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，其结果形成另一个图形，这两个图形称为对偶图形。又如在三维射影空间中，把由点、直线和平面所组成的一个图形中各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，其结果形成另一个图形，这两个图形称为空间中的对偶图形。

其中对偶元素是射影几何的一个数学术语，指射影几何中元素间的一种特殊关系。在射影平面上，点与直线互为对偶元素。在三维射影空间中，点与平面互为对偶元素，直线的对偶元素仍是直线。2

相关定义定义1，“点”与“直线”叫做射影平面上的对偶元素。

定义2，“过一点作一直线”与“在一直线上取一点”叫做对偶作图。

定义3，设有点和直线做组成的图形，将此图形中各元素改为它的对偶元素，各作图改为对偶作图，其结果形成另一图形，这两个图形叫做对偶图形。

由此定义可知，点列和线束是对偶图形，如右图1所示。

属于同一平面的所有点的集合叫点场（点域），所在平面叫点场的底。点场的对偶图形是属于同一平面的所有直线的集合，叫做线场（线域），所在平面叫做线场的底。

点列和线束叫做一维基本形。点场与线场叫做二维基本形。1

举例作出下列图形的对偶图形。

其对偶图形如下图所示。

作为对偶图形的例子，我们引进后面常用的一些简单平面图形及其对偶图形。1

简单四点形由四个点（其中无三点共线）以及连结其中任意两点的六条直线所组成的图像叫完全四点形（右图a）。这四个点叫定点，六条直线叫边，没有公共顶点的两边叫对边，共有三对对边，三对对边的交点叫对边点，它们构成一个三点形，叫对边三点形。1

简单四线形由四条直线（其中无三线共点）以及其中任意两条直线的六个交点所组成的图形叫完全四边形（右图b）。这四条直线叫边，六个点叫顶点，不在公共边上的两顶点叫对顶，共有三对对顶，三对对顶的连线叫对顶线，它们构成一个三线形，叫对顶三线形。1