[科普中国]-无穷远直线

简介

在几何学和拓扑学中，无穷远直线是一个投影线，被添加到实际（仿射）平面，以便给出所产生的投影平面的入射特性的闭合和除去特殊情况。 无穷远直线也称为理想线。2

几何意义在投影几何中，任何一对线总是在某一点相交，但平行线在实际平面中不相交。将无限远线添加到实际平面。这样就形成了平面，因为现在的平行线在无穷远直线上相交。此外，如果任何一对线在无穷远直线上的某一点相交，则该对线是平行的。

每一行在某一点与无穷远直线相交。平行线相交的点仅取决于线的斜率，而不是在y方向的截距上。

在仿射平面上，一条线在两个相反的方向延伸。在投影平面上，一条线的两个相反方向在无限远的线上相交。因此，投影平面中的线是闭合曲线，即它们是循环的而不是线性的。无限本身就是这样的；它在其两个端点（因此实际上并不是端点）完全符合自身，因此它实际上是周期性的。3

拓扑学角度无穷远直线可以被视为围绕仿射平面的圆。然而，圆的直径相对的点是相同的 - 它们是相同的点。仿射平面和无穷远直线的组合使真实的投影平面。

双曲线可以看作是在两个不同点处与无限远线相交的闭合曲线。这两点由双曲线的两个渐近线的斜率指定。同样，抛物线可以看作是一个闭合曲线，在一个点上与无限远的线相交。这一点由抛物线轴的斜率指定。如果抛物线被其顶点切割成对称的“喇叭”对，则这两个喇叭变得更远离顶点彼此平行，并且实际上平行于轴线并且彼此在无限远处，使得它们在无限远的线上相交。

复杂投影平面的模拟是无限远的“线”，这是（当然）复杂的投影线。在拓扑学上，这是完全不同的，因为它是一个黎曼球体，因此它是一个2球体，被添加到C（如此四个实际尺寸）上的两个维度的复杂仿射空间中，从而形成四维紧凑型歧管。结果是可定向的，而真正的投影平面不是。

历史无穷远的复杂线在十九世纪的几何学中被广泛使用。事实上，最适用的技巧之一是将圆圈视为一个圆锥，限制在无穷远处通过两个点，下列方程的解：4

X² + Y² = 0。

当我们在X和Y中删除较低阶的项时，这个方程是由任何一个圆的形式。更正式地，我们应该使用均匀坐标：

[X：Y：Z]

并注意无限远的行通过设置来指定：

Z = 0。

通过引入Z的能量，然后设置Z = 0来使等式均匀化，精确地消除低阶条件。

因此，解决这个方程，我们发现所有的圆圈都能通过无限远的循环点：

I = [1：i：0]和J = [1：-i：0]。

这些当然是复杂的点，任何代表一组齐次坐标。由于投影具有足够大的对称性，所以它们并不是特别的。结论是，三参数族圆可以被视为通过两个给定的不同点P和Q的圆锥曲线的线性系统的特殊情况。