[科普中国]-初等对称多项式

设 为数域 上的 元多项式，如果任意交换两个文字，多项式均不变，即对任意 都有

则称 为数域P上的一个n元对称多项式。下列n个对称多项式

称为初等对称多项式2。

(1) 对称多项式的和、乘积仍是对称多项式；对称多项式的多项式仍是对称多项式。

(2) 对称多项式基本定理 设 为数域P上的一个n元对称多项式，则存在惟一的n元多项式 ，使得， ，其中 为初等对称多项式2。

下面介绍两种将对称多项式表为初等对称多项式的多项式的方法。

逐步消去首项法

这是推导对称多项式基本定理时给出的方法，其一般步骤是：

第一步 首先找出对称多项式 的首项 ，则一定有

第二步 由 的首项写出 。

第三步 作 ，并展开化简。

再对 按第一、二、三步进行，构造 ，如此反复进行，直至出现 ，则

待定系数法

设 是m次齐次对称多项式，用待定系数法求解的一般步骤是：

第一步 根据 的首项指标组写出所有可能的指标组 ，这些指标组应满足① ；② ；③前面的指标组先于后面的指标组。

第二步 由指标组 写出对应的初等对称多项式的方幂的乘积

第三步 设出 由所有初等对称多项式的方幂乘积的线性表达式，其首项系数即为 的首项系数，其余各项系数分别用 代替。

第四步 分组选取适当的 的值，计算 及 ，代人第三步中设出的表达式得到关于 的线性方程组，解这个线性方程组求得 的值，最后写出所求的 的表达式。

注意：① 当 是非齐次对称多项式时，可以将它表成若干齐次对称多项武的和，把它的每一个齐次对称多项式表为初等对称多项式的多项式，再把所得到的各部分相加即可。

② 待定系数法是深入研究对称多项武基本定理的证明过程而得出的简化方法，要求熟练掌握2。