[科普中国]-截面积

简介

截面（英语：Cross section）为一几何学名词，是指一三维空间下的物体和一平面相交所产生交集。截面的面积称为截面积。

等幂等积定理说明若两个固体对应的截面积相等，则其体积相等。

一物体以特定角度观看时的截面积（）是该物体在此角度下正交投影的总面积。例如一高为h，半径为r的圆柱，若沿着其中心轴，其截面积，若沿着任一个和中心轴垂直的线，其截面积。一个半径为r的球体，在任意角度下的截面积均为。一物体的截面积可由下式的曲面积分求得：

其中为沿着指定方向的单位向量，是单位表面积向量，向量方向为往外的法向量。

而且上述积分只针对物体最上方的表面，也就是以观者角度可见的那一面。对于一个凸体的物体，从观者角度到物体的射线都会和物体的表面交会二次。因此上述积分可以以取绝对值的方式，针对整个表面计算，再除以2得到截面积如下：

祖暅原理（等幂等积定理）祖暅原理，又名等幂等积定理，是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理。祖暅之《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异。”

该原理最早由中国古代数学家刘徽提出。南北朝时又被祖冲之的儿子祖暅提出。祖冲之两父子采用这一原理，求出了牟合方盖的体积，进而算出球体积。在欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列里亦发现相同定理，所以西方文献一般称该原理为卡瓦列里原理。

在现代的解析几何和测度应用中，祖暅原理是富比尼定理中的一个特例。卡瓦列里没有对这条的严谨证明，只发表在1635年的Geometria indivisibilibus以及1647年的Exercitationes Geometricae中，用以证明自己的Methode der Indivisibilien。以此方式可以计算某些立体的体积，甚至超越了阿基米德和开普勒的成绩。这个定理引发了以面积计算体积的方法并成为了积分发展的一个重要步骤。23

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