[科普中国]-直线公理

直线公理的内容是：(1)经过两点只有一条直线。或者，两点确定一条直线；(2)两条直线相交，只有一个交点1。

基本内容直线的基本性质(公理)： (1)经过两点有一条直线，并且只有一条直线。(2)两条直线相交，只有一个交点。因为直线是不定义的名词，对直线概念的理解往往靠上述的基本性质。

应用举例【例1】已知点 ，求 的面积。

解： 如图1，设 边上的高为 ，则

边上的高为 就是点 到 的距离。

边所在直线的方程为

即 。

点 到 的距离

因此， 。

实际上，在以上解法中求直线 的方程可以不用两点式，可以运用**直线****公理“两点确定一条直线”**通过观察简洁求解：

由点 及 ，得点 均在直线

上，由“两点确定一条直线”知，直线AB就是直线 ，即直线AB的方程是 2。

【例2】 已知两条相交直线 的交点是(5，3)，求过两点 的直线的方程。

**解：**可得 所以 (否则 ，两条直线 重合)，把两个等式相减，得

所以所求直线的斜率为

所求直线的方程为

简解: 由“两条相交直线 ”知．点“ ”是不同的两点，还可得 。

由 知，点, 在直线 上；由 知，点 也在直线 上，所以由“两点确定一条直线”知，直线 就是直线 ，即直线 的方程是 2。

直线的相关公理关于直线的基本性质，是用下面一组公理描述的3。

阿基米德公理对于任意线段 ，如图2，存在一个自然数 ，使得

阿基米德公理是说，无论线段OP如何小，点M离点O无论多远，用线段OP在直线上连续截取足够的次数，将得到终点Q，点Q在点M的右边，即 。

稠密性公理对于直线上任意两个不同的点 ，在直线上至少存在一点 介于点A和点B之间，如图3。

由公理很容易得到下面的推论。

推论 在直线上的点A与点B之间，存在着无限多个点。

连续性公理对于直线上的线段 的无穷序列，如果满足：

(1) ；

(2) 对于给定的任一小的线段 ，总存在一个数 使得 ，如图4，

那么存在唯一的点 ，使得 (对一切 )，这个公理也叫做退缩线段原理，图5是它的几何解释3。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学