[科普中国]-反对称

反对称约束指分析对象的几何形状、边界条件、材料属性关于某个面对称，而载荷关于该面反对称，并称该面为反对称面。该面上的节点满足法向旋转为零，切向位移为零（如，反对称面法向为X轴，则：Uy=Uz=0，Rx=0）。

概念有限元分析中存在多种约束关系，包括对称（symmetry）约束与反对称（antisymmetry）约束。例如反对称行列式就是主对角元都是0，其它关于主对角线对称位置的元素符号相反。

反对称离散Hopfield网络的稳定性理论离散Hopfield 神经网络(以下简称为DHNN)为人工神经网络( ANN)的第二次兴起与发展起到了极大的促进作用。DHNN模型是研究整个反馈离散ANN 的基础，因而，受到ANN领域内许多学者的极大关注。研究反馈网络的最基本最主要的问题之一是稳定性问题，即网络的收敛性问题。对称与反对称型网络是一种比较实用性的网络，易于实现，因而受到学者们的极大兴趣。1986年Goles首先对反对称DHNN进行了研究，得到：若N=(W，θ )是一阶反对称DHNN，θ=0，则对N的任一初始状态X0∈Bp，N 在全并行方式下总会收敛于一个长度为4的环吸引子上去。

1990年，Bruck利用图论中的最大流最小割定理，对Goles的结论进行了所谓“重新证明”。发现关于结论1的证明是错误的。

具有p个神经元的离散Hopfield神经网络N，其拓扑结构可以由一个p×p阶矩阵W=(wij) p×p和一个p-维列向量
θ=(θ1，θ2，…，θp)τ所确定，并记为N =(W，θ )。其中wij表示神经元i与神经元 j之间的连接强度(或权值)，θi 表示神经元i的阈值(i , j =1，2，…，p)。若用xi(t)表示神经元i在t时刻所处的状态，并且只有两种：兴奋(用xi(t)=1表示)和抑制(用xi(t)=-1或0表示。

对于一个给定的反对称DHNN N =(W，θ)，θ=0，要求它的网络状态图只含长主度为4的有向圈，并且不含汇点，即对任一N 的初始状态X0∈Bp，要求X0最终收敛于一个长度为4的环吸引子上。若网络N满足条件则不可能对 X0∈Bp，X0最终收敛于一个长度为4的环吸引子。对于一个给定的反对称DHNN N =(W，θ)，在满足定理或推论的条件下，GN仅有长度为4的环吸引子。1

反对称应用于多尺度边缘提取的研究小波变换因其具有的良好特性被广泛地应用于图像压缩领域。同时，它也被认为是压缩域图像检索技术研究
的首选。其中一个重要的原因在于，基于小波数据能够得到图像的边缘，而边缘信息是表征图像内容的重要特征。

MaIIat 进行了基于小波变换的多尺度边缘提取的研究，采用反对称的二次样条小波对图像进行变换，通过模极大值检测提取多尺度边缘并进行综合，获得了良好的结果。然而，MaIIat所采用的是不具备正交性的二进小波，每一尺度上的小波分解都具有同样数量的变换系数，分解级数越多，图像数据量就越大，这样的变换数据结构不可能被图像压缩算法所采用。而从图像压缩和检索相结合的角度来看，更希望能够采用某种正交性小波的塔式分解数据进行边缘信息的提取，这样将使得我们能够直接利用小波压缩数据进行基于边缘信息的图像检索。因此，研究正交和双正交小波所具有的边缘提取能力，对压缩域图像检索的实现具有重要的意义。

相关研究对双正交小波所具有的边缘提取能力进行了理论分析，提出了一种基于反对称双正交小波的多尺度边缘提取算法。分析和实验结果均表明在反对称双正交小波变换域内能够得到精确的多尺度边缘信息，从而为利用反对称双正交小波实现压缩数据域内基于边缘信息的图像检索提供了依据。

反对称双正交小波与边缘提取由MaIIat的讨论，用于边缘提取的小波函数P(x)必须为反（奇）对称，它所对应的尺度函数为偶对称。根据小
波理论可知，满足这些条件的紧支撑集正交小波仅有Haar小波，同时正交小波可以看作双正交小波的特例，因此以下的分析将主要针对紧支撑的双正交小波展开。

多尺度边缘提取算法图像各个分辨率级上的小波变换均提供了一定的边缘信息。分辨率级高时（小尺度），边缘定位精度高，但对噪声敏感；分辨率级低时（大尺度），抗噪性好，但定位精度较差。因此，为了能够得到精确的图像边缘，应综合利用各个分辨率级上的边缘信息，即在低分辨率级上确定边缘，在高分辨率级上细化边缘，从而获得较好的边缘检测性能。综上所述，提出如下的多尺度边缘提取算法：

（1）图像的塔式小波分解：由于采用了具有双正交特性的小波基函数，因此可对图像进行 级的小波分解，而后续检测将在塔式分解数据上进行，其中为选定的分解级数。

（2）模图和相图的计算：基于图像的塔式分解数据，通过半重构过程得到各个分辨率级上的梯度矢量，并通过以下两式计算各分辨率级上的模值图M（f x，y）和相角图。

（3）模极大值检测和阈值处理：对每一分辨率的模图沿相角方向求局部模极大值点，得到所有可能的边缘像素集合。由于噪声和精细纹理的存在，边缘像素集合中有许多非边缘点，而这些点的模值普遍较小。因此采用阈值法剔除模值小于一定阈值的点，以减小非边缘像素点对后续步骤的影响。

（4）由粗到细的边缘链接：利用多个分辨率级的边缘像素集合，综合各个分辨率上的边缘信息，链接边缘像素点以得到精确的单像素宽的边缘。

对反对称双正交小波所具有的多尺度边缘提取能力进行了理论分析，并提出了一种基于反对称双正交小波的多尺度边缘提取算法。分析和实验结果均表明在反对称双正交小波变换域内能够得到精确的多尺度边缘信息。由于双正交小波所具有的良好特性（如线性相位、高阶消失矩等）使其广泛地应用于图像压缩领域，许多图像都采用基于小波的压缩算法进行压缩编码。因此研究结果为利用反对称双正交小波实现压缩域内基于边缘信息的图像检索提供了依据，这也是进一步深入研究的方向。2

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所