[科普中国]-混合型偏微分方程

混合型偏微分方程（partial differential equation of mixed type），简称混合型方程，一偏微分方程在所考虑的区域的某一部分上是椭圆型的，在另一部分上是双曲型的，这些部分由一些曲线(或一些曲面)所分隔，在分界线(面)上方程或者退化为抛物型的，或者是不定义的，这样的方程称作混合型方程。

基本介绍混合型偏微分方程是指在某一部分区域是椭圆型的而在其余部分是双曲型的偏微分方程。典型的线性混合型方程是特里科米(F.G.Tricomi)最早系统研究过的方程

(参见“特里科米问题”)和恰普雷根方程(参见“恰普雷根方程”)。可压缩流体的二维定常无旋运动方程

是拟线性混合型方程，式中φ为速度势，

为速度分量，c为局部音速，它是速度的函数。此方程在(即亚音速)的区域中是椭圆型的，在(即超音速)的区域中是双曲型的1。

由于混合型方程与跨音速、超音速流动理论有着直接联系而引起了广泛重视。自1923年意大利科学家特里科米提出并研究所谓的特里科米问题以后，不断有人对它进行研究。到20世纪50年代末，美国数学家费里德希斯建立了正对称方程组理论，在一定意义下统一地处理双曲型、抛物型、椭圆型及混合型方程的边值问题。将该理论应用于混合型方程的研究，大大地推进了混合型方程的发展。例如，得到了一些新的适定的边值问题，新的研究工具能量不等式，强弱解一致性和解的可微性等。

在边界层理论、无旋薄壳理论、渗流理论、扩散过程理论及其许多物理的和力的问题的研究中，常常遇到这样的一类方程（组），它们在域的某些点集（包括边界点）上发生型的蜕化，但在区域上并不同时出现有椭圆型和双曲面型。这类方程（组）被称为退化方程（组）。同样的，退化方程（组）也分为退化抛物型、退化椭圆型及退化双曲型方程（组）等。混合型方程的研究进一步促进可退化方程（组）的发展2。

研究历史混合型方程的研究历史比较短。1923 年，意大利F.C.特里科米最先研究了方程(后称为特里科米方程)，它在半平面是椭圆型的，在半平面是双曲型的，直线是它的蜕型线。对此方程特里科米提出了一种新的边值问题( 后称为特里科米问题):设区域的边界由所组成，其中为以x轴上二点A 与B 为端点而在上半平面上的若尔当光滑曲线，是在下半平面上经过A、B这二点的方程的两条特征线，并相交于C点。边界条件只给在和上:在上，在上。该方程在上的正则解，即解在闭域上连续，它的一阶微商除A 与B点外连续,而在这两点上微商趋于无穷的阶数小于1,二阶微商除x轴上的点外在内连续。且假定了曲线在A与B点附近满足特殊的要求。特里科米通过解奇异积分方程问题证明了这个问题解的存在性。自特里科米的工作之后，混合型方程，特别由于它与跨音速、超音速流动理论有着直接联系而引起了广泛的重视，从40年代起不断有人对它进行研究，基本上在个方面开展工作： 1)提出新的边值问题，并证明解的存在性和惟一性； 2)寻求新的研究工具和途径，且不断减弱在证明可解性时所附加在方程系数和边界曲线上的限制；3)利用混合型方程解决气体动力学、儿何学和弹塑性力学中的各种问题。

美国数学家K.O.弗里德里希斯在50年代末建立了正对称方程组的理论，在一定意义下统一地处理双曲、抛物、椭圆以及混合型方程的边值问题。将此理论应用于混合型方程的研究，不仅得到了一些适定的新的边值问题，而且也提供了新的研究工具：能量不等式、强弱解一致性和解的可微性等。同时还促进了多个自变量的和非线性的混合型方程的研究。混合型方程的研究还与弹性薄壳无旋理论、几何曲面变形理论以及其他物理、力学问题等有着广泛的联系3。

退化方程除上述那种方程外，还有一类方程(方程组)，它们是在域的某些点集(包括边界点) 上发生型的蜕化，但在区域上并不同时出现有椭圆型和双曲型。这类方程(组)被称为退化方程(组)。退化方程(组)可分为退化抛物型方程、退化椭圆型方程(二者合在一起还称为具有非负特征的方程)、退化双曲型方程(组)等。退化方程(组)在边界层理论、无旋薄壳理论、渗流理论、扩散过程理论及其他许多物理和力学问题中遇到。混合型方程的研究更促进了对退化椭圆型方程和退化双曲型方程的深人研究。这类方程( 方程组)基本上在两个紧密联系的方向上开展研究：1）证明边值问题的可解性，在此考虑到由于型的蜕化而在问题提法上的改变； 2）研究解的性质，特别是建立类似于非退化方程的解的性质3。

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武伟 - 高级工程师 - 天津直升机有限责任公司