[科普中国]-圆周卷积

两个函数的圆周卷积是由他们的周期延伸所来定义的。周期延伸意思是把原本的函数平移某个周期 T 的整数倍后再全部加起来，所产生的新函数。

定义x(t) 的周期延伸可以写成

两个函数 x(t) 与 h(t) 的圆周卷积 可用两种互相等价的方式来定义

其中表示原本的（线性）卷积。

类似的，对于离散信号（数列），可以定义周期 N 的圆周卷积为

离散序列类似地，对于离散序列和周期Ñ，我们可以写出循环卷积的功能ħ和X为：

其中积分的内核变换是循环矩阵。1

算法离散信号的圆周卷积可以经由圆周卷积定理使用快速傅立叶变换（FFT）而有效率的计算。因此，若原本的（线性）卷积能转换成圆周卷积来计算，会远比直接计算更快速。考虑到长度L 和长度 M 的有限长度离散信号，做卷积之后会成为长度 的信号，因此只要把两离散信号补上适当数目的零（zero-padding）成为 N 点信号，其中 ，则它们的圆周卷积就与卷积相等。即可接着用 N 点 FFT 作计算。

用以上方法计算卷积时，若两个信号长度相差很多，则较短者须补上相当多的零，太不经济。而且在某些情况下，例如较短的 h[n] 是一个 FIR 滤波器而较长的 x[n] 是未知长度的输入（像语音）时，直接用以上方法要等所有的输入都收到后才能开始算输出信号，太不方便。这时可以把 x[n] 分割成许多适当长度的区块（称为 block convolution），然后一段一段的处理。经过滤波后的段落再仔细的连接起来，借由输入或输出的重叠来处理区块连接的部份。这两种做法分别称为重叠-储存之卷积法和重叠-相加之卷积法。2

另见离散希尔伯特变换

循环矩阵

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学