[科普中国]-半正定矩阵

半正定矩阵是正定矩阵的推广。实对称矩阵A称为半正定的，如果二次型X'AX半正定，即对于任意不为0的实列向量X，都有X'AX≥0.1

半正定矩阵概述正定矩阵的研究最先出现于二次型与Hermite型的研究中，而且只限于对实对称矩阵或Hermite矩阵的使用。随着数学本身及其它学科(如数学规划、投入产出的矩阵理论、现代控制等)的需要,有不少人开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。2

广义定义定义1 设A是n阶方阵，如果对任何非零向量X，都有X'AX≥0，其中X‘'表示X的转置，就称A为半正定矩阵。

狭义定义（常用定义）定义2 设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX≥0，则称A为半****正定矩阵，称X'AX为半正定二次型。（其中，X'表示X的转置。）1

注1：1）设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX>0，则称A为正定矩阵，称X'AX为正定二次型。

2）设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX