[科普中国]-力矩分配法

简介

以位移法为基础的一种数值渐近方法，是美国H．克罗斯于1932年发表的，主要用于杆系刚结结构(如连续梁和刚架)的受力分析。

设想将结构承载后能产生位移的节点(杆件的连接点)用相应的假想约束固定，在假想约束处就产生不平衡力矩(或力)，然后逐个放松附加约束，消除不平衡力矩(或力)，恢复真实变形状态。若首先放松节点i的附加约束，则i点的不平衡力矩Mi就会使刚结于i点的所有杆件变形，不平衡力矩Mi随即消失，这就是把Mi分配给节点i备杆件的近端，而各杆件远端由于受到i端分配力矩的影响也得到一定的力矩，前者称为分配力矩，后者称为传递力矩。然后再将节点i固定住。在消除同节点i相邻的节点j的不平衡力矩时，节点i得到了节点j端传来的力矩，以此作为i节点新的不平衡力矩，再次放松约束，将不平衡力矩分配给节点i各杆的近端。如此循环进行，直到各点不平衡力矩都趋于零为止。循环中，节点i处第k个杆的分配力矩为Mik=-μikMi，其中分配系数，Kik为第k个杆的弯曲刚度，表示连接于节点i处所有杆的弯曲刚度的总和。第k个杆在i端分配到的力矩对远端(即节点k)的影响就是传递力矩，它等于CikMik，其中Cu称为传递系数，其值为：

循环计算完毕后，将各杆端各次的分配力矩、传递力矩和最初的不平衡力矩(称为固端力矩)相加，即得各杆端的实际力矩值。此法适用于计算连续粱和无侧移刚架2。

数学原理具有四根等截面杆的刚架（图a,图中i代表各杆的线性刚度,i=EI/l,E为材料的弹性模量,I为杆件的截面惯性矩，l为杆长），若在点O作用一外力矩MO,使结点O发生单位转角嗘0=1,则结构的变形如图a虚线所示，相应的弯矩图如图b（转角及弯矩均以顺时针方向为正。习惯上把每一杆件的转动端称为近端,另一端称为远端）。由图可看出，作用于点O的力矩MO将由各杆近端共同承担,并传递到远端。各杆的远端弯矩与近端弯矩之比称为该杆的传递系数C，对于等截面杆,它仅与远端的支承情况有关。各杆的传递系数分别为CO1=1/2,CO2=0，CO3=-1，CO4=0。

根据静力平衡原理,MO应等于各近端弯矩之和，即MO=4i1+3i2+i3，如图c。杆端发生单位转角时的近端弯矩称为该杆的转动刚度Ki，各杆转动刚度之和 ∑Ki称为结点O 的转动刚度。图中任一杆的近端弯矩可表

因子 Ki/∑Ki称为分配系数Di。它表明当点O受到MO作用时，i杆所分配到的力矩与该杆转动刚度Ki对结点O转动刚∑Ki的比值有关。由此可知，点O 受任一确定的外力矩M作用时，任一杆的近端弯矩为MiO=DiM；远端弯矩为MiO=CiMOi=CiDiM。

力矩分配法的基本思路①固定结点,在结点O上加一刚臂控制转动，分别求出各杆端由荷载产生的固端弯矩，作用于一结点上的各杆固端弯矩的代数和称为不平衡力矩；

②放松结点，取消本不存在的刚臂，让结点转动，将不平衡力矩按各杆的分配系数求得各杆的分配力矩；

③传递力矩，按分配力矩和各杆的传递系数向各杆远端传递，得各传递力矩。循此规则，分配、传递、反复计算，直至得到足够精度的杆端力矩数值为止。

最后，杆端力矩等于固端力矩、分配力矩、传递力矩之和。

对于有侧移刚架，也可以应用由力矩分配法发展出来的方法计算，如无剪力分配法计算单跨刚架、附加剪力平衡方程的力矩分配法等，但其应用范围受到限制或不很方便，所以对于一般有侧移刚架，常采用迭代法。

应用为了应用力矩分布法分析结构，必须考虑以下几点。3

固定最终力矩固定的最终力矩是当接头固定时通过外部载荷在构件端产生的力矩。

弯曲刚度构件的弯曲刚度（EI / L）表示为弹性模量（E）和第二力矩（I）除以构件长度（L）的乘积。时间分配方法所需要的不是精确值，而是所有成员的弯曲刚度比。

分布因子当关节释放并在不平衡时刻开始旋转时，在每个构件在接头处构成一体的阻力发展。尽管总阻力等于不平衡力矩，但是在每个构件上产生的阻力的大小不同于构件的弯曲刚度。分布因子可以定义为每个成员携带的不平衡矩的比例。在数学术语中，在联合j处构造的成员k的分布因子给出为：

其中n是在联合框架的数量。

残留因子当释放接头时，发生平衡力矩以平衡不平衡力矩，其最初与固定时刻相同。 然后将这个平衡时刻转移到会员的另一端。 另一端的转移力矩与初始结束的固定力矩的比值是残留因子。

公约一旦选择了标志公约，就必须为整个结构维护。 传统工程师的符号约定不用于计算力矩分布法，尽管结果可以用常规方式表示。 在BMD情况下，左侧力矩为顺时针方向，其他方向为逆时针方向，因此弯曲为正，称为下垂。

框架结构可以使用矩分布法分析具有或不具有侧面的框架结构。