[科普中国]-边界元法

简介

边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的1方法 。 又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数 ，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题 ，如应力集中问题 ，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。

基础边界元法是基于控制微分方程的基本解来建立相应的边界积分方程，再结合边界的剖分而得到的离散算式。

Jaswon和Symm于1963年用间接边界元法求解了位势问题；Rizzo[3]于1967年用直接边界元法求解了二维线弹性问题；Cruse[4]于1969年将此法推广到三维弹性力学问题。1978年，Brebbia用加权余量法推导出了边界积分方程，他指出加权余量法是最普遍的数值方法，如果以Kelvin解作为加权函数，从加权余量法中导出的将是边界积分方程——边界元法，从而初步形成了边界元法的理论体系，标志着边界元法进入系统性研究时期。

发展经过近40年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。在数学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。在方法与应用方面，边界元法已应用到工程和科学的很多领域，对线性问题，边界元法的应用已经规范化；对非线性问题，其方法亦趋于成熟。在软件应用方面，边界元法应用软件已由原来的解决单一问题的计算程序向具有前后处理功能、可以解决多种问题的边界元法程序包发展。

我国约在1978年开始进行边界元法的研究，我国的学者在求解各种问题的边界元法的研究方面做了很多的工作，并且发展了相应的计算软件，有些已经应用于工程实际问题，并收到了良好的效果。

《边界元法》内容简介《边界元法》内容简介：边界元法是在有限元法之后发展起来的一种精确高效的工程分析数值方法。经过近五十年的发展，它不仅在固体与结构分析领域成为有限元法最重要的一种补充，而且在微机电系统电磁场分析和大型结构电磁波散射分析等领域也得到广泛应用。

《边界元法》分为传统边界元法的基本内容发展的快速多极边界元法等新进展两大部分。前七章包含了传统边界元法的基本内容，分为三个单元：前三章为数学力学基础部分，介绍各种问题边界积分方程的建立；第四、第五章为基本数值方法部分，包括分元离散，数值积分和方程求解，并结合二维问题介绍其程序实现；第六、第七章为几类应用专题，主要是含时间问题、几种非线性问题和反问题。

第八、第九章介绍快速多极边界元法和大规模快速多极边界元并行算法，第十二章介绍与边界积分方程相关的边界型无网格法。另外在第十、第十一两章简要介绍国际上边界元法比较成功的应用，包括在机械、结构工程中的应用，和声场、电磁场分析设计中的应用。

书中的内容多于48学时或32学时的课程能够讲授的内容，便于不同学校、不同专业的老师根据需要选讲部分内容，同时为研究生提供课外的补充学习材料。《边界元法》附带光盘，提供弹性力学平面问题的边界元法C++和Fonran源程序、一个三维位势问题的常规和快速边界元分析程序的执行文件，以及相应的考题和算例，供读者试用。

《边界元法》也可以作为有关教师和工程技术人员学习边界元法的参考书。

《边界元法》的图书目录引言

1 边界元法的数学基础

2 边界元法的发展历史

3 我国边界元法研究概况

4 边界元法研究的最新进展

5 边界元法的应用举例

6 边界元法的优缺点

7 本书的内容安排

参考文献

第一章 位势问题的边界积分方程与边界元法

1 调和方程的基本定解问题

2 Green等式、基本解及解的积分表达式

3 边界积分方程的建立

4 对于一般问题的推广

5 位势问题的边界元法简介

习题

附录1指标符号与笛卡儿张量简介

A1.1 指标符号

A1.2 矢量

A1.3 张量和张量场

参考文献

第二章 线弹性静力学问题的边界积分方程

1 线弹性静力学定解问题的微分提法

2 Betti定理、Kelvin解及Somigliana等式

3 线弹性静力学的边界积分方程

4 建立基本解的一种一般方法

习题

参考文献

第三章 几种常见的直接法和间接法边界积分方程

1 核函数的扩充

2 回转体问题

2.1 变截面轴的扭转问题

2.2 轴对称问题

2.3 回转体的弯曲问题

3 弹性薄板弯曲问题

3.1 弹性薄板弯曲问题的微分提法

3.2 弹性薄板弯曲问题的基本边界积分方程

3.3 弹性薄板弯曲问题的补充边界积分方程

4 弹性裂纹问题的对偶边界积分方程

4.1 位移边界积分方程

4.2 面力边界积分方程

5 半空间、半平面问题

5.1 半空间问题

5.2 半平面问题

6 位势问题的间接法边界积分方程

7 虚应力法建立的边界积分方程

8 位移间断法建立的边界积分方程

9 域外回线虚载荷法建立的回线积分方程

10 域外奇点法建立的边界积分方程

11 边界积分方程的正则化和基本解的恒等式

习题

参考文献

第四章 二维问题的边界元数值方法与程序实现

1 边界的离散化

1.1 二维域边界线的几何描述及单元自动划分

1.2 二维域的边界线元单元描述

2 边界积分方程的离散化

2.1 由加权余量法配点格式将边界积分方程化为线性代数方程组

2.2 核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分

2.3 奇异积分的处理

2.3.1 弱奇异积分的处理

2.3.2 Cauchy主值积分和超奇异积分的简单特解法

2.3.3 Cauchy主值积分和超奇异积分的有限部分积分的一般性处理方法

3 方程的求解以及边界应力、内点位移和应力的确定

3.1 离散化的边界积分方程的求解

3.2 边界应力的确定

3.3 内点位移和应力的确定

4 边界元法计算误差的一种直接估计

4.1 内点变量趋于边界点极限的确定

4.2 边界元解误差的一种直接估计

4.3 基于边界元解误差直接估计的边界元自适应计算简例

5 边界元子域法

5.1 边界元链状子域法

5.2 边界元重复相似子域法

5.3 边界元行列子域法

习题

附录4 弹性力学平面问题边界元分析软件部分源程序

A4.1 FORTRAN程序BIEBE2说明

A4.2 C++源程序

参考文献

第五章 三维问题的边界元数值方法

1 边界的离散化

1.1 用I-J映射法自动划分单元

1.2 三维域的边界面元单元描述

2 边界积分方程的离散化

2.1 核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分

2.2 弱奇异积分的处理

2.3 奇异积分和近奇异积分的简单特解法

2.4 Cauchy主值积分的直接计算法

2.5 超奇异积分的有限部分积分

3 线性代数方程组的求解

4 裂纹问题对偶边界元法

4.1 裂纹面的分元离散

4.2 确定应力强度因子的方法

5 边界元一有限元耦合方法

习题

附录5 三维位势问题边界元分析软件使用说明

A5.1 FMBEM-LAPLACE3D简介

A5.2 使用方法

A5.2.1 前处理

A5.2.2 运行程序

A5.2.3 结果信息

A5.3 前处理转换软件PAq、一TRANSI。ATOR使用说明

A5.3.1 生成MSC.PATRAN前处理文件

A5.3.2 生成BEM_INP.DAq、前处理文件

参考文献

第六章 与时间有关问题的边界元法

1 瞬态热传导问题

1.1 Laplace变换法

1.2 边界元一时间差分耦合法

1.3 与时间有关的基本解

2 弹性动力学问题

2.1 基于与时间有关基本解的边界积分方程与边界元法

2.1.1 与时间有关的基本解

2.1.2 时间一空间域的边界积分方程

2.1.3 时间一空间域的弹性动力学边界元法

2.2 Laplace变换法

2.2.1 在Laplace变换空间的边界积分方程

2.2.2 边界积分方程的离散

2.2.3 Laplace反演方法

2.3 双重互易法

习题

附录6 弹性动力学边界元法补充公式

A6.1 弹性动力学二维问题的时间一空间域基本解

A6.2 弹性动力学三维问题时间一空间域基本解的时间积分

A6.3 弹性动力学三维问题的一种新的时空域边界积分方程

A6.4 弹性动力学三维问题的一种新的高效的时空域边界元法

参考文献