[科普中国]-无反射边界条件

简介

在科学和工程计算中，大量出现无界或半无界区域上各种波动方程的数值求解问题，由于计算机容量有限，一般只能在有界区域上计算，为此需引进人工边界，在这些边界止应加相应的边界条件。这些边界条件应满足两个基本要求：

1)新的有界区域上的解应是原来的无界区域上解的好的近似。对波动方程来说，这就要求在人工边界上不产生人工(非物理)反射。因而这类边界条件称为无反射边界条件或吸收边界条件；

2)所形成的微分方程初边值问题是适定的。1

边界条件边界条件指在运动边界上方程组的解应该满足的条件。有限元计算，无论是ansys，abaqus，msc还是comsol等，归结为一句话就是解微分方程。而解微分方程要有定解，就一定要引入条件， 这些附加条件称为定解条件。定解条件的形式很多，最常见的有两种——初始条件和边界条件。

如果方程要求未知量y(x)及其导数y′(x)在自变量的同一点x=x0取给定的值，即y(x0)=y0，y′(x0)= y0′，则这种条件就称为初始条件，由方程和初始条件构成的问题就称为初值问题；

而在许多实际问题中，往往要求微分方程的解在在某个给定区间a ≤ x ≤b的端点满足一定的条件，如y(a) = A , y(b) = B，则给出的在端点(边界点)的值的条件，称为边界条件，微分方程和边界条件构成数学模型就称为边值问题。

相关研究近年来在计算气动声学(Computational Aero-Acoustics，CAA)中提出了将大涡模拟和声学传播方程相结合的计算声场的混合方法。这种混合方法的思路是将声场的计算区域分成声源区域和传播区域，在声源区域采用大涡模拟方法，在传播区域采用求解声学传播方程。该方法由于避免了全场采用大涡模拟等直接方法进行模拟，因此大大减少了计算时间，近年来成为计算气动声学的研究热点。其中大涡模拟区域基于计算量的考虑，不能取得很大，这就涉及到一个边界条件的处理问题。远场边界条件的处理非常重要，若处理不当，将在边界上产生较大反射“污染”计算区域的流场，影响计算精度。

作为大涡模拟的前期工作，陈荣钱等研究了采用有限差分法求解二维Navier- Stokes方程的远场边界处理问题。远场边界条件通常采用特征无反射边界条件。特征无反射边界条件最早是由Thompson提出，应用在笛卡尔网格下欧拉方程的计算中;Pointsot将其应用到笛卡尔网格的可压缩Navier- Stokes方程的计算中;蒋莉将特征无反射边界条件推广到一般曲线坐标系下可压缩N-S方程的计算中，在边界上控制方程改写成原始变量的形式，出口边界采用了松弛因子的方法减小出口反射;Kim提出了另一种一般曲线坐标系下的特征边界条件处理方法，但在边界上控制方程写成守恒变量的形式，同时在入口边界和出口边界都采用了松弛因子方法。最近五年，Yoo认为局部一维无粘关系式中省略的横向对流项及粘性项应当保留;Chen给出了新的一般曲线坐标系下的特征边界条件的数学推导，并将边界条件和采用隐式时间推进求解的内场祸合起来;Landmann将一般曲线坐标系下特征反射和无反射边界条件写成统一的公式，给出了数学推导。由此可以看出，特征无反射边界条件虽然经历了二十多年的发展，取得了一系列的成果，但直到目前仍然是一个需要研究的问题。2

数值模拟正确处理可压缩流动的边界条件是得到直接数值模拟结果非常关键的一步，因为在直接数值模拟中不可能模拟一个无限大的计算区域.由于计算资源的限制，常会人为地将直接数值模拟的计算区域限制在一个非常有限的区域内，这样就只能在有限的计算区域内给定特定的边界条件口。

对于Navier-Stokes方程的特征边界条件的给定，目前学术界尚存在很大争议。主要的问题集中在Navier-Stokes不是双曲型方程，因此不能简单将Eider方程边界条件给定的方法直接应用到Navier-Stokes方程，但是，对于Navier-Stokes方程，存在类似于Eider方程传播的特征波，为了处理Navier-Stokes方程的特征边界条件，先假定Navier-Stokes传播的特征波主要是Eider方程中特征波的部分，至于Navier-Stokes特征波的详细形式需要在今后数学理论发展之后再进行详细考虑。目前，学术界正是在上述假定下采用类似于Eider特征波分析的方法来处理Navier-Stokes方程的特征波。

李德波等对特征无反射边界条件中角点的边界条件处理进行了研究，并通过大量的数值模拟，提出了新的角点耦合处理数学方法。与此同时，对空间发展的可压缩圆孔射流进行了直接数值模拟研究，并将模拟结果与试验值进行了严格验证，结果发现直接数值模拟结果与试验值吻合较好，表明新的角点耦合处理数学方法是有效的。3