[科普中国]-拉格朗日量

定义

假设一个物理系统的拉格朗日量为 ，则此物理系统的运动，以拉格朗日方程表示为

.

其中， 是时间，是广义坐标，是广义速度。

来源1788年，约瑟夫**·**拉格朗日建立拉格朗日力学，是对经典力学的一种的新的理论表述，着重于数学解析的方法，是分析力学的重要组成部分。它有一个基本假设是具有 n 个自由度的系统，其运动状态完全由 n 个广义坐标及广义速度决定。力学系统的运动状态由一个广义坐标和广义速度的函数描述： 。此函数即拉格朗日量（函数）。2

Lagrange介绍约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）

法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。

拉格朗日生平

拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年是家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。

到了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学。17岁时，他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了数学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析。

18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。

中年时的约瑟夫·拉格朗日1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分极值。第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。变分法的创立，使拉格朗日在都灵声名大震，并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。

1764年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题)，为此又一次于1766年获奖。

1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，居住达20年之久，开始了他一生科学研究的鼎盛时期。在此期间，他完成了《分析力学》一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。

1783年，拉格朗日的故乡建立了"都灵科学院"，他被任命为名誉院长。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的邀请，离开柏林，定居巴黎，直至去世。

这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任。1799年，法国完成统一度量衡工作，制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日为此做出了巨大的努力。

1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。此后，他才重新进行研究工作，编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义》，总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作。

1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。3

拉格朗日方法拉格朗日量方法的优点在于，它是一个微扰理论，这个理论不仅包括了树图能级贡献，而且也包含了圈贡献。目前，这样的计算只能对结果的数量级进行估计，因为没有充足的实验数据去确定拉格朗日量抵消项的任意系数。然而，它们提供了一个圈图贡献大小的线索。我们将介绍与此相关的两个例子：第一个是超精细质量劈裂下圈效应的大小。第二个例子是通过手征的圈效应给出比率，其中fDs和Df 分别为介子和 介子的轻子衰变常数。计算手征圈效应的其它例子还包括对强耦合常数的修正，对半轻子的形状因子的修正和以及对B介子和 D介子辐射衰变与稀有衰变的修正。4

有效拉格朗日方法最主要的缺陷是在拉格朗日量中有大量的耦合常数。即使在轻介子微商和1Qm展开的最低阶，不得不使用数据确定几个耦合。一个典型的例子是已经提及到的D*Dπ耦合常数，目前确定它的实验数据仍不充足。在缺少实验数据的情况下，人们也可以依靠理论研究提供的结果，比如来自 求和规则或势模型关于它的或者 晶格模拟。另一个可选择的办法是不仅通过强相互作用，而且通过介子之间的弱相互作用和电磁相互作用获取相关信息。事实上，手征拉格朗日量在这些过程中的应用不仅为决定体系的耦合常数提供了可能，而且提供了由对称联系的不同过程之间的定量关系。要做到这一点，通常使用两种方法：第一种方法是用手征对称性和重夸克味对称性联系不同弱跃迁和电磁跃迁的振幅之间的关系。第二种方法是利用手征拉格朗日量来计算不同的振幅。无论使用哪种方法，都需要对形状因子的q²行为做出一些假设。5