[科普中国]-全等三角形

定义

经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。

性质1．全等三角形的对应角相等。

2．全等三角形的对应边相等。

3. 能够完全重合的顶点叫对应顶点。

4．全等三角形的对应边上的高对应相等。

5．全等三角形的对应角的角平分线相等。

6．全等三角形的对应边上的中线相等。

7．全等三角形面积和周长相等。

8．全等三角形的对应角的三角函数值相等。2

判定过程在第一行写要进行判定全等的两个三角形；

第二行画大括号，分别写判定的三个条件，并注明理由；

在第三行写出结论，并说明理由。

五种理由1.公共边；2.已知；3.已证；4.公共角；5.由定义推到的角，如“对顶角相等”。

最后一行，写两个三角形全等并注明理由.（如图）（若为直角三角形，在第二行须先写明两个直角相等并为90度，再写两个斜边、直角边分别相等）。

（例：Rt△xxx与Rt△xxx）

（提示：线段的垂直平分线上的一点到线段的两个端点的距离相等）

注意三个角对应相等的两个三角形不一定全等，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也不一定全等。

判定SSS（Side-Side-Side）（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。3

SAS（Side-Angle-Side）（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。3

ASA（Angle-Side-Angle）（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。3

AAS（Angle-Angle-Side）（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。3

RHS（Right angle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）（又称HL定理(斜边、直角边)）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。（它的证明是用SSS原理）

下列两种方法不能验证为全等三角形：

AAA（Angle-Angle-Angle）（角角角）：三角相等，不能证全等，但能证相似三角形。3

SSA（Side-Side-Angle）（边边角）：其中一角相等，且非夹角的两边相等。3

不能验证全等三角形的判定

AAA（角、角、角），指两个三角形的任何三个角都对应地相同。但这不能判定全等三角形，但AAA能判定相似三角形。在几何学上，当两条线叠在一起时，便会形一个点和一个角。而且，若该线无限地廷长，或无限地放大，该角度都不会改变。同理，在左图中，该两个三角形是相似三角形，这两个三角形的关系是放大缩小，因此角度不会改变。

这样，便能得知若边无限地根据比例加长，角度都保持不变。因此，AAA并不能判定全等三角形。

但在球面几何上，AAA可以判定全等三角形（运用三角形与其极对称三角形的边角关系证明），而AAS不能判定全等三角形（球面三角形内角和大于180°）。

方法举例SSS（边边边）即三边对应相等的两个三角形全等.3

举例：如下图，AC=BD，AD=BC，求证∠A=∠B.

证明：在△ACD与△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=CD.∴△ACD≌△BDC.（SSS）

∴∠A=∠B.（全等三角形的对应角相等）

SAS（边角边）即三****角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.2

举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D.

证明：∵AB平分∠CAD.

∴∠CAB=∠BAD.

在△ACB与△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB.

∴△ACB≌△ADB.（SAS）

∴∠C=∠D.（全等三角形的对应角相等）

ASA（角边角）即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹边也对应相等的两个三角形全等.3

举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.

证明：在△ABE与△ACD中{∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C.

∴△ABE≌△ACD.（ASA）

AAS（角角边）即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等.3

举例：如下图，AB=DE，∠A=∠E，求证∠B=∠D.

证明：在△ABC与△EDC中{∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE.

∴△ABC≌△EDC.（AAS）

∴∠B=∠D.（全等三角形的对应角相等）

HL（斜边、直角边）即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等**.3**

举例：如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC.

证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中{AC=BD，CD=CD.

∴Rt△ADC≡Rt△BCD.（HL）

∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等）

用途

因为多边形可由多个三角形组成，所以利用此方法，亦可验证其它全等的多边形。

推论利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：

SSS（Side-Side-Side）（边、边、边）：各三角形的三条边的长度都对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

SAS（Side-Angle-Side）（边、角、边）：各三角形的其中两条边的长度都对应相等，且这两条边的夹角（即这两条边组成的角）都对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

ASA（Angle-Side-Angle）（角、边、角）：各三角形的其中两个角都对应相等，且这两个角的夹边（即公共边，）都对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

AAS（Angle-Angle-Side）（角、角、边）：各三角形的其中两个角都对应相等，且其中一个角的对边（三角形内除组成这个角的两边以外的那条边）或邻边（即组成这个角的一条边）对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

HL定理（hypotenuse -leg） （斜边、直角边）：直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，该两个三角形就是全等三角形。

运用1.性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

2.当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。

3.用在实际中，一般我们用全等三角形测相等的距离。以及相等的角，可以用于工业和军事。

4.三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。

证明一般来说线段和角相等需要证明全等。

因此我们可以来采取逆向思维的方式。

来想要证全等，则需要什么条件

要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。

然后把所得的等式运用（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）证明三角形全等。

有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：中线倍长，截长补短等。

分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。