[科普中国]-边边边定理

简介

边边边定理，简称SSS，是平面几何中的重要定理之一。边边边定理的内容是：有三边对应相等的两个三角形全等。它用于证明两个三角形全等。该定理最早由欧几里得证明。

《义务教育数学课程标准》（2011 版）将判定三角形全等中的“边边边”列为基本事实，即作为证明推理的出发点，并不要求证明。同时，为了帮助学生发现并理解这条基本事实的合理性，现行教材大都沿袭传统做法，即通过尺规作图，根据已知三边的长度作出一个三角形，再将作出的三角形与原三角形放在一起，看是否重合来得到“边边边”的合理性。以上做法是实验几何的方法，并没有证明“边边边”的成立。

证明方法欧几里得的《几何原本》，其中命题 8 证明了三边分别相等的两个三角形，则夹在等边中间的角也相等。书中采用的是反证法，并且借助书中另外一条定理（即命题 7）来完成证明。有了这条定理做保证，就可以继续借助“边角边”完成“边边边”的证明。

方法1设：在三角形ABC和三角形DEF中，AB等于DE，AC等于DF，即AB是DE的对应边，AC是DF的对应边。BC等于EF。

那么说：三角形ABC全等于三角形DEF。

将点B替换成点E，线段BC替线段EF，因为BC等于EF，所以点C与点F重合，那么BA、AC分别于ED、DF重合。

如果底边BC与底边EF重合，而BA、AC两边与ED、DF两边不重合，形成了新的两边与EG、FG重合，那么从一条线段的两个末端引出的两条线段相交于一点，同一条线段的两个末端引出的另外两条线段交与另一点，两组对应边不能相等。所以：假设不能成立。

所以三角形ABC和三角形DEF可以重合，所以三角形ABC和三角形DEF全等。

方法2一般证明“边边边”常采用以下方法：

在△ABC和△A'B'C'中，已知AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'。求证：△ABC ≌ △ A'B'C'。

证明：将△ABC通过平移、旋转和轴反射，使BC的像与B'C'重合(并使A的像与A'在BC的两旁)，连接AA'，得到图1。

因为AB=A'B'，AC=A'C'，

在△ABC和△A‘B'C'中，AB=A‘B'，角BAC=角B'A'C'，AC=A'C'，所以△ABC ≌ △ A'B'C' ( SAS )。

由此得到以下基本事实：三边对应相等的两个三角形全等。注意到上述证明过程中，借助了“等腰三角形等边对等角”这一定理，尽管课标对“边边边”不作证明要求，但从几何定理的编排顺序以及数学教材的严谨性来讲，在呈现“边边边”这一基本事实之前，最好先证明等腰三角形的相关性质，再介绍“边边边”，那么一切将顺理成章。

“等边对等角”定理的证明借助“边角边”证明“等边对等角”：

（1）欧几里得的《几何原本》的命题 5 也是证明等腰三角形“等边对等角”。已知AB=AC，延长AB到D，延长AC到E，使AD=AE。由《几何原本》命题 4 的“边角边”，可证明△ADC≌△AEB，从而BE=CD，角BDC=角BEC，又BD=CE，再用“边角边”可证得△DBC≌△ECB，进 而得 到角DBC=角ECB，于是角ABC=角ACB。

这个证明过程要用到两次全等证明，这对于初学者来说很难。因此该定理戏称为“笨蛋的难关（Asses' Bridge）”，照原文直译即“驴桥”，意思是学完该定理的证明，学习者就基本掌握证明的方法了。

（2）还有一种证明方法是证明“自己与自己全等”。如图 2，已知△ABC，AB=AC。因为AB=AC，角A=角A，AC=AB，所以△ABC≌△ACB，所以角B=角C。这种证明方法巧妙，但一般的人很难接受这种证明方式。

以上这些证明方式都是利用“边角边”完成证明，也就是说教材可以先讲“边角边”，再证明等腰三角形的相关性质，接着就可以推出“边边边”了。考虑到等腰三角形的知识点比较多（含性质和判定），从教材编写的角度考虑，单独将“等腰三角形”做一小节是合适的1。