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[科普中国]-球冠

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定义

定义 1

球面被平面所截得的一部分叫做球冠。球冠是曲面,是球面的一部分。截得的圆叫做球冠的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高。

定义 2

一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转所成的曲面叫做球冠。

一般地说,球面被一个平面截得的两个球冠中,其中一个球冠的高大于球的半径,则另一个球冠的高必小于半径。特别地,若两个球冠的高相等,则它们都为半径,球冠就成了半球面。1

球冠面积球冠面积等于截得它的球面上大圆周长与球冠的高的乘积,即

面积公式的推导

假定球冠最大开口部分圆的半径为 ,对应球半径 有关系: 为两直径夹角,则:

球冠面积微分元

从0到 积分得

其中 即为球冠的自身高度 ,所以

相关概念辨析球缺

球缺属于几何体,是指用一个平面去截一个球所得的部分,是“体”的概念。而球冠只是个“面”的概念,是指一个球面被一个平面所截得的部分。因此,球缺可以计算体积;而球冠只能计算面积。

球带

球面夹在两个平行截面间的部分叫做球带,两个平行截面间的距离叫做球带的高。1