[科普中国]-误差分析

简介

在数学中，误差分析是对解决问题可能存在的错误或不确定性的种类和数量的研究。 这个问题在数值分析和统计等应用领域尤为突出。1

数值模拟中的误差分析在实际系统的数值模拟或建模中，随着模型参数的变化，误差分析与模型输出的变化有关。

例如，在作为两个变量的函数建模的系统中。 误差分析涉及x和y（在平均值和附近）的数值误差以及z（在平均值附近）的数值误差。

在数值分析中，误差分析包括前向误差分析和后向误差分析。

前向误差分析前向误差分析涉及函数的分析，它是函数确定近似误差的界限（通常是有限多项式）；举个例子，找到一个，使得。

后向误差分析后向误差分析涉及近似函数，以确定参数，使结果。

后向误差分析，其理论由詹姆斯·威尔金森（James H. Wilkinson）提出和推广，可用于确定实现数字函数的算法在数值是否稳定。方法表明，尽管由于舍入误差而导致的计算结果不完全正确，但这是一个精确的解决方案。 如果所需的扰动小，按照输入数据的不确定性的顺序，则结果在某种意义上与数据“应得的”一样准确。 然后将算法定义为向后稳定。 稳定性是对给定数值程序的舍入误差敏感度的量度;；相比之下，给定问题的函数的条件数表示函数对其输入中的小扰动的固有灵敏度，并且独立于用于解决问题的实现。2

应用全球定位系统使用全球定位系统计算的误差分析对于了解GPS的工作原理以及了解应该预期的幅度误差很重要。 全球定位系统对接收机时钟误差和其他影响进行修正，但仍然存在未纠正的残差错误。 全球定位系统（GPS）由美国国防部（DOD）于七十年代创建。 它已经被美军和公众广泛地用于导航。

分子动力学模拟在分子动力学（MD）模拟中，由于相空间或不经常发生的事件的采样不足，存在误差，这导致了测量中随机波动引起的统计误差。

对于波动特性A的一系列M测量，平均值为：

当这些测量是独立的时候，平均值的方差是：

其中是自相关函数，由

然后我们可以使用自动相关函数来估计误差。

科学数据验证测量通常具有少量的误差，同一项目的重复测量通常会导致读数略有不同。 可以分析这些差异，并遵循一定的已知数学和统计特性。一般来说，误差分析通常不足以证明数据被伪造或制造，但它可能提供必要的支持证据，以证实怀疑不当行为。3

相关内容物理化学以测量物理量为基本内容，并对所测得数据加以合理的处理，得出某些重要的规律，从而研究体系的物理化学性质与化学反应间的关系。

然而，在物理量的实际测量中，无论是直接测量的量，还是间接测量的量（由直接测量的量通过公式计算而得出的量），由于测量仪器、方法以及外界条件的影响等因素的限制，使得测量值与真实值（或实验平均值）之间存在着一个差值，这称之为测量误差。

研究误差的目的是：在一定的条件下得到更接进于真实值的最佳测量结果；确定结果的不确定程度；据预先所需结果，选择合理的实验仪器、实验条件和方法，以降低成本和缩短实验时间。因此我们除了认真仔细地做实验外，还要有正确表达实验结果的能力，这二者是同等重要的。仅报告结果，而不同时指出结果的不确定程度的实验是无价值的，所以我们要有正确的误差概念。