[科普中国]-二元线性方程组-

定义

二元线性方程组实质上就是二元一次方程组。因为二元一次方程的图象是一条直线，所以有时就将二元一次方程称之为线性方程，将二元一次方程组称之为线性方程组。1

线性方程组的一般形式为：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0.

性质方程组（1）二元一次方程组：由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

对二元一次方程组的理解应注意：

①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.

②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解。1

概念方程两边都是整式，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程。

你能区分这些方程吗？5x+3y=75（二元一次方程）；3x+1=8x（一元一次方程）；2y+y=2(一元一次方程）；2x-y=9（二元一次方程）。

对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：

①等号两边的代数式是否是整式；

②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；

③未知数的项的次数都是1，实际上是指方程中最高次项的次数为1，在此可与多项式的次数进行比较理解，切不可理解为两个未知数的次数都是1。

（2）二元一次方程的解

使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：

①一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值；

②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；

③在求二元一次方程的解时，通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解。1

应用消元法“消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8。1

消元法包括代入消元法；加减消元法；顺序消元法。1

例子x-y=3 ①

3x-8y=4②

由①得x=y+3③

③代入②得

3（y+3)-8y=4

y=1

所以x=4

则：这个二元一次方程组的解

x=4

y=1

其他方法(一)加减-代入混合使用的方法。

例1.13x+14y=41 (1)

14x+13y=40 (2)

解:(2)-(1)得

x-y=-1

x=y-1 (3)

把(3)代入(1)得

13(y-1)+14y=41

13y-13+14y=41

27y=54

y=2

把y=2代入(3)得

x=1

所以:x=1，y=2

最后 x=1 ， y=2，解出来

特点：两方程相加减，得到单个x或单个y，适用接下来的代入消元。

(二)代入法

是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程带入另一个方程中。1

如：

x+y=590

y+20=90%x

带入后就是：

x+90%x-20=590

例2，(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4

令x+5=m，y-4=n

原方程可写为

m+n=8

m-n=4

解得m=6，n=2

所以x+5=6，y-4=2

所以x=1，y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式（x+5，y-4），换元后可简化方程。

（三）另类换元

例3，x:y=1:4

5x+6y=29

令x=t，y=4t

方程2可写为：5t+24t=29

29t=29

t=1

所以x=1，y=4。

换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

比如(x+y)/2-(x-y)/3=6

3(x+y)=4(x-y)

解：设x+y为a,x-y为b

原=a/2-b/3=6①

3a=4b②

①×6 得3a-2b=36③

把②代入③ 得2b=36 b=18

把b=18代入②得a=24

所以x+y=24④

x-y=18⑤

④-⑤得 2y=6 y=3

把y=3代入④得 x=21

x=21

是方程组的解

y=31

整体代入比如2x+5y=15①

85-7y=2x②

解：把②代入①得

85-7y+5y=15

-2y=-70

y=35

把y=35代入②得

x=-80

是方程组的解

y=351