[科普中国]-方向向量

简介

空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置， 由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。

已知定点P0（x0,y0,z0)及非零向量v={l,m,n}，则经过点Pο且与v平行的直线L就被确定下来，因此，点P0与v是确定直线L的两个要素，v称为L的方向向量。

由于对向量的模长没有要求，所以每条直线的方向向量都有无数个。直线上任一向量都平行于该直线的方向向量。1

方向向量的求解只要给定直线，便可构造两个方向向量（以原点为起点）。

（1）即已知直线l：ax+by+c=0，则直线l的方向向量为 =(-b,a)或(b,-a)；

（2）若直线l的斜率为k,则l的一个方向向量为 =(1,k)；

（3）若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB所在直线的一个方向向量为 =(x2-x1,y2-y1)。1

相关定义有向线段 规定若线段 的端点为起点， 为终点，则线段就具有了从起点 到终点 的方向和长度。

具有方向和长度的线段叫做有向线段。1

向量的模向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量 的模记作 。

注：

1．向量的模是非负实数，向量的模是可以比较大小的。向量 ， 。

2．因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如 是没有意义的。2

单位向量长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量。与 同向，且长度为单位1的向量，叫做 方向上的单位向量，记作 ， 。2

负向量如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量，也称为相反向量。

零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。2

相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a与b相等，记作a=b。

规定：所有的零向量都相等。

当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量。2

自由向量始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。

在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。

数学中只研究自由向量。2

滑动向量沿着直线作用的向量称为滑动向量。

固定向量作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。

位置向量对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。

相反向量与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a，有 -(-a)=**a，**零向量的相反向量仍是零向量。

平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。我们规定：零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。

若a=(x,y)，b=(m,n)，则a//b→****a×b=xn-ym=0。

共面向量平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量。

空间中的向量有且只有以下两种位置关系：(1)共面；(2不共面。

注意：只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。2

法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。2

向量的和的模设平面直角坐标系xOy中，有点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则

。2