[科普中国]-对数函数

简介

对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义：

如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

“log”是拉丁文logarithm（对数）的缩写，读作：[英][lɔɡ][美][lɔɡ, lɑɡ]。

实际应用在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。

对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a0，a≠1时，aX=NX=logaN。（N>0）

由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：

在实数范围内，负数和零没有对数；

，log以a为底1的对数为0(a为常数) 恒过点（1，0）。

有理和无理指数

如果 是正整数, 表示等于 的 个因子的加减:

但是，如果是 不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数 （参见幂）。类似的，对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数 ，有一个对数函数和一个指数函数，它们互为反函数。

对数可以简化乘法运算为加法，除法为减法，幂运算为乘法，根运算为除法。所以，在发明电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

复对数

复对数计算公式

复数的自然对数，实部等于复数的模的自然对数，虚部等于复数的辐角。

产生历史16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数1。

德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。

欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。

纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：

Nap．㏒x=10㏑(107/x)

由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。

瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。

英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。

1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。

对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。

最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫真数，0.3010叫做假数，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用假数为对数」。

我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905）看到这些著作后，大为叹服。

当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。

函数性质定义域****求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1

和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}

值域**：**实数集R，显然对数函数无界；

定点**：**对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；

单调性**：**a>1时，在定义域上为单调增函数；

00）

当00;

当00

并且，在比较两个函数值时：

如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时）

如果底数一样，真数越小，函数值越大。（00,N>0，那么：

和差

换底公式

推导：设

所以

两边取对数，则有

即

又因为

所以

指系

还原互换

倒数

链式

表达方式（1）常用对数：lg(b)=log10b（10为底数）

（2）自然对数：ln(b)=logeb（e为底数）

e为无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828

与指数的关系同底的对数函数与指数函数互为反函数。

当a>0且a≠1时，ax=N x=㏒aN。

关于y=x对称。

对数函数的一般形式为 y=㏒ax，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0