[科普中国]-均匀分布

简介

在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）。12

性质概率密度函数均匀分布的概率密度函数为：

在两个边界a和b处的f（x）的值通常是不重要的，因为它们不改变任何 的积分值。 概率密度函数有时为0，有时为 。 在傅里叶分析的概念中，可以将f（a）或f（b）的值取为 ，因为这种均匀函数的许多积分变换的逆变换都是函数本身。3

对于平均值μ和方差 ，概率密度可以写为：

分布函数累积分布函数为：

它的逆是：

生成函数力矩生成函数：

我们可以从中计算原始力矩 ：

对于特殊情况a =-b，那么，

力矩生成函数的简单形式：

对于该分布的随机变量，期望值为 ，方差为 。4

属性矩一阶矩（均值）：

二阶中心矩（方差）：

也可以用期望来求：

统计量令 是服从于U（0,1）的样本。 令X（k）为该样本的第k次统计量。 那么X（k）的概率分布是参数为k和n-k+1的β分布。期望值是：

方差是：

均匀度均匀分布的随机变量落在固定长度的任何间隔内的概率与区间本身的位置无关（但取决于间隔大小），只要间隔包含在分布的支持中即可。

为了看到这一点，如果X〜U（a，b）并且[x，x + d]是具有固定d> 0的[a，b]的子间隔，则

标准均匀分布若a = 0并且b = 1，所得分布U（0,1）称为标准均匀分布。

标准均匀分布的一个有趣的属性是，如果u1具有标准均匀分布，那么1-u1也是如此。5

相关分布（1）如果X服从标准均匀分布，则通过逆变换方法， 具有指数分布参数 。

（2）如果X服从标准均匀分布，则Y = Xn具有参数（1 / n，1）的β分布。

（3）如果X服从标准均匀分布，则Y = X也是具有参数（1,1）的β分布的特殊情况。

（4）两个独立的，均匀分布的总和产生对称的三角分布。4

应用统计学中，当使用p值作为简单零假设的检验统计量，并且检验统计量的分布是连续的，则如果零假设为真，则p值均匀分布在0和1之间。

从均匀分布抽样运行仿真实验有很多应用。 许多编程语言能够生成根据标准均匀分布有效分布的伪随机数。

如果u是从标准均匀分布中采样的值，则如上所述，的值遵循由a和b参数化的均匀分布。

从任意分布抽样均匀分布对于任意分布的采样是有用的。 一般的方法是使用目标随机变量的累积分布函数（CDF）的逆变换采样方法。 这种方法在理论工作中非常有用。 由于使用这种方法的模拟需要反转目标变量的CDF，所以已经设计了cdf未以封闭形式知道的情况的替代方法。 一种这样的方法是拒收抽样。

正态分布是逆变换方法效率不高的重要例子。 然而，有一个确切的方法，Box-Muller变换，它使用逆变换将两个独立的均匀随机变量转换成两个独立的正态分布随机变量。

量化误差在模数转换中，发生量化误差。 该错误是由于四舍五入或截断。 当原始信号比一个最低有效位（LSB）大得多时，量化误差与信号不显着相关，并具有大致均匀的分布。 因此，RMS误差遵循该分布的方差。