[科普中国]-高斯整数

简介

数论的一个重要分支——代数数论把整数的一些理论推广到了一些特殊的代数整数集合。所谓代数整数就是首一（首项系数是1）整系数多项式的根。而高斯整数即是一类特殊的代数整数集合。

形如 （其中a，b是整数）的复数被称为高斯整数，高斯整数全体记作Z[i]。注意到若 γ=a+bi 是高斯整数，则它是满足如下方程的代数整数

由于γ 满足首一二次整系数多项式，所以它被称为二次无理数。反之，若 α=r+si，其中r，s是有理数，而且 α 是一个首一二次整系数多项式的跟，则 α 是高斯整数。高斯整数是以伟大的德国数学家高斯的名字命名的，他是第一位深入研究这类数性质的数学家。2

性质通常我们使用希腊字母来表示高斯整数，例如α，β，γ和δ。注意到若 n 是一个整数，则 n=n+0i 也是高斯整数。当我们讨论高斯整数的时候，把通常的整数称为有理整数。

加、减、乘运算高斯整数在加、减、乘运算下是封闭的，正如下面定理所述。

定理1：设 α=x+iy 和 β=w+iz 是高斯整数，其中 x，y，w 和 z 是有理整数，则 α+β，α-β 和 αβ 都是高斯整数。

虽然高斯整数在加、减和乘运算下封闭，但是他们在除法运算下并不封闭，这一点与有理整数类似。此外，若 α=a+bi 是高斯整数，则 N(α)=a2+b2 是非负有理整数。2

整除性我们可以像研究有理整数那样去研究高斯整数。整数的许多基本性质可以直接类推到高斯整数上。要讨论高斯整数的这些性质，我们需要介绍高斯整数类似于通常整数的一些概念。特别地，我们需要说明一个高斯整数整除另一个高斯整数的意义，并给出高斯素数的定义。

定义1：设 α 和 β 是高斯整数，我们称α整除β，是指存在一个高斯整数 γ 使得β=αγ。若α整除β，我们记作α|β ；若α 不整除β ，记作αβ 。

高斯整数的整除也满足有理整数整除的一些相同的性质。例如，若α，β和γ 是高斯整数，α|β，β|γ，则α|γ。再者，若α，β，γ，ν和μ 是高斯整数，γ|μ，γ|β，则γ|(μα+νβ)。2

高斯素数1, −1, i及−i都是高斯整数环里面的单位元。除此之外，在高斯整环里面不能因子分解的数称为高斯素数。高斯素数分为两类，其中一类是形式为4n+3（n是整数）的普通素数，如3，7等，它们在高斯整环里面也不能够因子分解。但是所有形式是4n+1的普通素数如5，13等，在高斯整环里面都可以唯一因子分解成两个共轭的高斯素数的乘积，如5=(2+i)(2-i)。需要注意的是，这里我们也可以写成5=(1+2i)(1-2i)，这个是因为(2-i)i=1+2i，而i是单位元，所以我们可以认为这两种分解是等价的。此外，素数2也可以分解，即2=(1+i)(1-i)。2