[科普中国]-代数曲线

概念

代数几何的一个基本概念。一维代数簇称为代数曲线。任意一条代数曲线都可通过正规化把奇点解消，成为一条光滑曲线。再完备化后就得到一条光滑射影代数曲线。由于光滑射影曲线间的双有理映射必定是同构映射，因此代数曲线的双有理分类问题可以归结为光滑射影代数曲线的双正则(即同构)分类问题。以下只考虑复数的情形。这时，复光滑射影代数曲线与紧黎曼面之间有一个一一对应的关系。再考虑这个紧黎曼面上的半纯函数域，就得到了一个C的超越次数等于1的扩域。反之，从C的一个超越次数等于1的扩域出发，可以定义一条抽象射影代数曲线.这就是著名的“三位一体”：光滑射影代数曲线、紧黎曼面以及复数域上超越次数为1的有限生成扩域实质上是同一个对象的三种不同表现方式。从而代数曲线的最重要的数值不变量——亏格也可用各种不同的方式来定义：它既是一个拓扑不变量，也是一个可由紧黎曼面上的整体全纯微分形式空间的维数或以结构层的第一级上同调空间的维数来定义的代数不变量。1

黎曼(Riemann，(G.F.)B.)首先考虑了亏格g的所有紧黎曼面的参量空间问题，并发现这个参量空间的维数是3g-3(当g≥2时)，但黎曼未能严格证明它的存在性。20世纪中期，由于芒福德(Mumford，D.B.)等人的工作，人们对代数曲线参量空间簇Mg已经有了较深入的了解。芒福德把格罗腾迪克(Grothendieck，A.)的概形理论用到古典的不变量理论，创立了几何不变量理论，并且，用它证明了Mg的存在性及拟射影性。目前，人们对Mg的结构已有了深入的研究，例如：当g≥23时，Mg是一般型的；当g≤13时，Mg是单有理的。人们猜测，当g2 的曲线中存在非超椭圆曲线。3

研究方法模空间观点具有同样亏格的曲线的等价类组成的集合称为曲线模空间。 比如

g=0的曲线模空间是由一个点组成；

g=1的椭圆曲线模空间是复上半平面中的一个区域，等等。

曲线的模空间是代数几何里最重要的一类几何对象。4

函数观点我们可以考虑定义在代数曲线上的半纯函数。 半纯函数的零点和极点的集合是由有限个点组成。 我们把这个集合称为主除子。 更一般的，我们可以定义除子的概念，这里不再详述。

除子概念是曲线论里最基本的概念。 与其相关的一个重要结果就是所谓的黎曼洛赫定理。 这个定理把分析和拓扑巧妙的联系起来，揭示出两者间的深刻关系。

相关文献《代数曲线论》 作者普吕克尔。该书于 1839年出版，是普吕克尔的最重要的著作。在该书中给出了所谓 的普吕克尔公式，把平面曲线的阶数和亏格数与简单奇点联系起来，证明了 描述代数曲线奇点（在该点有两两 不相同的切线）数目的方程。还研究 了四次曲线，他第一个发现这种曲 线有廿八条二重切线，其中至多八 条是实的。该著作为代数几何学的 发展做出了重要贡献。普吕克尔还 著有《解析几何的体系》、《空间 几何的体系》、《以直线作为空间 元素建立的新空间几何学》。5