[科普中国]-最小值

简介

在数学分析中，在给定范围内（相对极值）或函数的整个域（全局或绝对极值），函数的最大值和最小值被统称为极值（极数）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位提出函数的最大值和最小值的数学家之一。

如集合论中定义的，集合的最大和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。1

定义对于在X上定义的实值函数 ，对于X中的所有x，如果满足 ，那么 就是全局（或绝对）最大点。类似地，对于X中的所有x，如果 ，那么 就是全局（或绝对）最小点，则最大点处的函数值称为函数的最大值，最小点处的函数值被称为函数的最小值。

如果域X是度量空间，那么如果存在 ，则 在点 处具有局部（或相对）最大点，使得所有x的 ，X在 的距离 内。类似地，对于距离ε内的X中的所有x，如果 ，函数具有局部最小点。当X是拓扑空间时，可以使用类似的定义，因为刚才给出的定义可以根据邻域进行重新表述。

在全体和局部的情况下，可以界定严格最值的概念。例如，如果对于 ≠ 的X中的所有x，我们有 ，那么 是一个严格的全局最大点；如果存在 ，使得对于 的距离 内的X中的所有x， ≠ ，我们有 ， 是严格的局部最大点。注意，当且仅当它是唯一的全局最大点时，点是严格的全局最大点，并且对于最小点也是类似的。2

具有紧凑域的连续实值函数总是具有最大点和最小点。一个重要的例子是其域是实数的闭（有界）间隔的函数（见下图）。

寻找函数最大值和最小值找到全局最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合间隔上是连续的，则通过最值定理存在全局最大值和最小值。此外，全局最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或者必须位于域的边界上。因此，找到全局最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小）一个。

费马定理可以发现局部极值的微分函数，它表明它们必须发生在临界点。可以通过使用一阶导数测试，二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部最大值还是局部最小值，给出足够的可区分性。

对于分段定义的任何功能，通过分别查找每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。

举例（1）函数 在x = 0时具有唯一的全局最小值。

（2）函数 没有全局最小值或最大值。虽然x = 0时的一阶导数 为0，但这是一个拐点。

（3）函数 在x = 1 / e处的正实数具有唯一的全局最大值。

（4）函数 具有一阶导数 和二阶导数 。将一阶导数设置为0并求解x给出在-1和+1的平稳点。从二阶导数的符号，我们可以看到-1是局部最大值，+1是局部最小值。请注意，此函数没有全局最大值或最小值。

（5）函数| x |在x = 0处具有全局最小值，由于导数在x = 0处不存在，因此不能通过获取导数来找到。

（6）函数cos（x）在0，±2π，±4π，...无限多的全局最大值，无限多的全局最小值在±π，±3π，...。

（7）函数 具有无限多的局部最大值和最小值，但没有全局最大值或最小值。

（8）在闭合区间（段）[-4,2]上定义的函数 在 处具有局部最大值， 处的局部最小值，x = 2处的全局最大值，x = -4处的全局最小值。

多变量函数对于多个变量的函数，也适用相似的条件。例如，在下侧的（可放大）图中，局部最大值的必要条件与仅具有一个变量的函数的条件相似。关于z（要最大化的变量）的第一个偏导数在最大值为零（图中顶部的发光点）。第二偏导数为负。由于可能存在鞍点，这些只是局部最大值的必要条件。为了使用这些条件来求解最大值，函数z也必须是可以区分的。第二个偏导数测试可以帮助将点分类为相对最大值或相对最小值。相比之下，在全局极值识别中，一个变量的函数和多个变量的函数之间存在实质性差异。例如，如果在实线上的闭合间隔上定义的有界可微分函数f具有单个临界点（这是局部最小值），则它也是全局最小值（使用中间值定理和Rolle定理来证明这一点））。作为函数显示。 其唯一的关键点是（0,0），这是ƒ（0,0）= 0的局部最小值。但是，它不是全局的，因为ƒ（2,3）= -5。

关于集也可以为集合定义最大值和最小值。一般来说，如果有序集S具有最大的元素m，则m是最大元素。此外，如果S是有序集T的子集，并且m是相对于由T诱导的阶数的S的最大元素，则m是T中S的最小上限。类似的结果适用于最小元素，最小元素和最大的下限。

在一般的部分顺序的情况下，最小元素（小于所有其他元素）不应该与最小元素混淆（没有更小）。同样，部分有序集合（poset）的最大元素是集合中包含的集合的上限，而集合A的最大元素m是A的元素，使得如果m≤b（对于任何b在A）然后m = b。元素的最小元素或最大元素是唯一的，但是poset可以具有几个最小或最大元素。如果一个poset有多个最大元素，那么这些元素将不会相互比较。

在完全有序的集合或链中，所有元素都是相互可比的，所以这样的集合可以具有至多一个最小元素和最多一个最大元素。然后，由于相互的可比性，最小元素也将是最小元素，最大元素也将是最大的元素。因此，在一个完全有序的集合中，我们可以简单地使用最小和最大值。如果链条是有限的，那么它总是具有最大值和最小值。如果一个链是无限的，那么它不需要最大或最小。例如，自然数的集合没有最大值，尽管它具有最小值。如果无限链S有界，则集合的闭包Cl（S）偶尔具有最小值和最大值，在这种情况下，它们分别称为集合S的最大下限和最小上限。3