[科普中国]-分布函数

定义

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 称为X的分布函数。有时也记为 。

对于任意实数 ,

因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。

如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间 上的概率。

分布函数的性质F(x)为随机变量X的分布函数，其充分必要条件为：1

1.非降性(1)F(x)是一个不减函数

对于任意实数

2.有界性(2）

从几何上说明，将区间端点x沿数轴无限向左移动（即 )，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有 ;又若将点x无限右移（即 )，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件，从而趋于概率1，即有 2

3右连续性(3) ;

证明：因为 F（x）是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限F（x0+0）必存在。

为证明右连续，由海涅定理，只要对单调下降的数列 当 时,

证明 成立即可。 因为 ：

所以得，

离散性随机变量的分布函数设离散性随机变量X的分布列为

由概率的可列可加性得 ，

即

其中和式是对满足 的一切k求和．离散型随机变量的分布函数是分段函数， 的间断点就是离散型随机变量的各可能取值点，并且在其间断点处右连续．离散型随机变量 的分布函数 的图形是阶梯形曲线． 在 的一切有(正)概率的点 ，皆有一个跳跃，其跳跃度正好为 取值 的概率 ，而在分布函数 的任何一个连续点x上， 取值x的概率皆为零。

离散型随机变量的分布律和它的分布函数是相互唯一决定的。它们皆可以用来描述离散型随机变量的统计规律性，但分布律比分布函数更直观简明，处理更方便。因此，一般是用分布律(概率函数)而不是分布函数来描述离散型随机变量。3

连续性随机变量的分布函数1.定义设X为连续型随机变量，其密度函数为 ，则有

对上式两端求关于x的导数得

这正是连续型随机变量X的分布函数与密度函数之间的关系。

2.几种常见的连续性随机变量的分布函数(1)设 ,则随机变量X的分布函数为

(2)设 ，则随机变量X的分布函数为

(3)设 ，则随机变量的分布函数为

对于 ，其分布函数为

联合分布函数给定一个随机变量 ，称定义域为整个平面的二元实值函数

为随机变量(X，y)的分布函数。或称为X与y的联合分布函数．

按照分布函数的定义：

其中，区域 如图所示

联合分布函数性质：

设 是随机变量 的分布函数．

（1）

（2）固定一个白变量的值时，作为一元函数关于另一个自变量是单调不减的；

（3）对任意固定一个y， ；对任意同固定一个x， ， ， .

（4）固定一个自变量的值时， 作为一元函数关于另一个白变量至少有连续；

（5）对任意的