[科普中国]-空间直角坐标系

定义

空间任意选定一点O,过点O作三条互相垂直的数轴Ox，Oy，Oz，它们都以O为原点且具有相同的长度单位。这三条轴分别称作x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称为坐标轴。它们的正方向符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四个手指x轴的正向以 角度转向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向。这样就构成了一个空间直角坐标系，称为空间直角坐标系O-xyz。定点O称为该坐标系的原点。与之相对应的是左手空间直角坐标系。一般在数学中更常用右手空间直角坐标系，在其他学科方面因应用方便而异。

任意两条坐标轴确定一个平面，这样可确定三个互相垂直的平面，统称为坐标面。其中x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy面，类似地有yOz面和zOx面。三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限。如右图所示，八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、...、Ⅷ表示，其中含x轴、y轴和z轴正半轴的是第Ⅰ卦限，在xOy面上的其他三个卦限按逆时针方向排定，依次为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限；在xOy面下方与第Ⅰ卦限相邻的为第Ⅴ卦限，然后也按逆时针方向排定依次为第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。

空间点的直角坐标取定空间直角坐标系O-xyz后，就可以建立空间的点与一个有序数组之间的一一对应关系。

设点M为空间的一点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面。设三个平面与x轴、y轴和z轴的交点依次为P、Q、R，点P、Q、R分别称为点M在x轴、y轴和z轴上的投影。又设点P、Q、R在x轴、y轴和z轴上的坐标依次为x、y、z，于是点M确定了一个有序数组x，y，z。反之，如果给定一个有序数组x，y，z，可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后点P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的三个平面，它们相交于空间的一点M，点M就是由有序数组x，y，z所确定的点。这样一来，空间的点M与有序数组x，y，z之间就建立了一一对应的关系。把有序数组x，y，z称为点M的坐标，记作M(x，y，z)，其中x称为横坐标、y称为纵坐标、z称为竖坐标。

原点的坐标为（0，0，0）；若点M在x轴上，则其坐标为（x，0，0）；同样对于y轴上的点，其坐标是（0，y，0）；对于z轴上的点，其坐标为（0，0，z）；同样，位于xOy平面上的点，其坐标为（x，y，0）；位于yOz平面上的点，其坐标为（0，y，z）；位于xOz平面上的点，其坐标为（x，0，z）。可见，位于坐标轴上、坐标面上和各卦限内的点，其坐标各有特点。1

空间两点间的距离利用点的坐标，可求出空间中两点间的距离。

设A（x1,y1,z1）和B（x2,y2,z2）是空间两点，过A和B各作三个分别垂直于坐标轴的平面，这六个平面围成一个以AB为对角线的长方体，它的三条棱长分别是,由于A和B之间的距离d就是该长方体对角线AB的长度，且和都是直角三角形，故由勾股定理得

这就是空间两点间的距离公式。

特殊地，空间的点M（x，y，z）与原点O（x，y，z）之间的距离为