[科普中国]-一阶线性微分方程

定义

形如 (1)

的方程称为一阶线性微分方程。方程式（1）的特点是它关于未知函数y及其一阶导数是一次方程。这里假设P（x），Q（x）是x的连续函数。

若Q(x)≡0，式（1）变为 （2）

称为一阶齐线性方程。

如果Q(x)不恒为0，方程式（1）称为一阶非齐线性方程。式（2）也称为对应于式（1）的齐线性方程。

式（2）是变量分离方程，它的通解为 (3)

这里C是任意常数。1

通解求法一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。

一阶齐次线性微分方程对于一阶齐次线性微分方程：

其通解形式为：

其中C为常数，由函数的初始条件决定

一阶非齐次线性微分方程对于一阶非齐次线性微分方程：

其对应齐次方程: 解为：

令C=u(x)，得:

带入原方程得：

对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：

其中C为常数，由函数的初始条件决定

注意到，上式右端第一项是对应的齐线性方程式（2）的通解，第二性是非齐线性方程式（1）的一个特解。由此可知，一阶非齐线性方程的通解等于对应的齐线性方程的通解与非齐线性方程的一个特解之和。2