[科普中国]-狄利克雷级数

定义

在数学中，狄利克雷级数是如下形式的无穷级数：

其中s是一个复数，an是一个复数列。

例子最有名的狄利克雷级数要数黎曼ζ函数了，即数列an恒等于 1 时的情形。

另外一个是：

其中μ(n) 是默比乌斯函数。还有很多的狄利克雷级数都可以通过默比乌斯倒置算法和狄利克雷卷积得到。比如对于一个给定的狄利克雷特征，有

其中 是一个狄利克雷L函数。

还有：

其中φ(n) 是欧拉函数。以及：

其中 σa(n) 是因数函数。

其他关于因数函数d=σ0的等式还有：

对于Re(s)>1，ζ函数的对数由下式给出：

其中 为冯·曼戈尔特函数。

其导数由下式给出：

更广泛的性质如下：对于一个刘维尔函数，，有：

另外一个例子是关于拉马努贾函数：

。

解析性质对于一个给定的数列an}n∈N1

是一个关于复变量s的函数。为了使得函数有意义，需要考虑使得右端的无穷级数收敛的s。

如果an}n∈N是一个有界数列，那么f在所有Re(s) > 1的s处绝对收敛。如果an= O(n)，那么函数f在所有 Re(s)>k+1 的s处（一个半平面）绝对收敛。

如果对任意n和k≥ 0，和an+an+ 1+ ... +an+k有界。那么对 Re(s) > 0 的s，函数f收敛。

以上定义的函数f对于定义域中的s都是解析函数。

一般来说，一个狄利克雷函数的收敛轴标是指实轴上的一个数x0，使得对于复平面上处于直线y=x0右边的半平面，函数都收敛（有定义）。

一般来说，与狄利克雷级数相对应的函数都可以解析扩展到更广的领域中。

导数对于2

其中ƒ(n)是一个完全积性函数，并且对于Re(s)>σ0，函数收敛，则有：

对于Re(s)>σ0收敛，其中是冯·曼戈尔特函数。

乘积对于

以及

如果F(s)和G(s) 分别对 Res>a和 Res>b的s绝对收敛，那么

当 时，

如果a=b并且 ƒ(n) =g(n) 则有：

当时，