[科普中国]-直线

直线方程平面方程

一般式

适用于所有直线的方程：1

（其中 、 不能同时为0）

点斜式

知道直线上一点 ，并且直线的斜率 存在，则直线可表示为：

当 不存在时，直线可表示为：

斜截式

知道直线在 轴上截距为 （即经过点 ），斜率为 ，直线可表示为：

当 不存在时，直线可表示为：

截距式

知道直线与 轴交于 ，与 轴交于 ，则直线可表示为：

当 、 均不为0时，斜截式可写为

该表达式不适用于和任意坐标轴垂直的直线

两点式

知道直线经过点 和点 ，且斜率存在，则直线可表示为：

法线式

其中 为原点到直线的距离， 为法线与 轴正方向的夹角

点方向式

知道直线上一点 ， 、 不等于0，并且直线不与 轴、 轴平行，则直线可表示为：

点法向式

空间方程1. 一般方程2：

2. 点向式方程2：

设直线方向向量为（m,n,p ），经过点（ x0,y0,z0）

3. x0y式

x=kz+b,y=lz+b

有关内容角设平面e的法向量为c 直线m、n的方向向量为a、b

把平面ax+by+cz+d=0的法向量为（a,b,c）；直线x=kz+b,y=lz+a的方向向量为(k,l,1)代入即可

则直线所成的角：m，n所成的角为a。

cosa=cos=|a*b|/|a||b|

直线和平面所成的角： 设b为m和e所成的角，则b=π/2±。sinb=|cos|=|a*c|/|a||c|

平面两直线所成的角：设K(l1)=k1,K(l2)=k2(k1k2≠-1),tan=(k1-k2)/(1+k1k2)

距离异面直线的距离：l1、l2为异面直线，l1，l2公垂直线的方向向量为n、C、D为l1、l2上任意一点，l1到l2的距离为|AB|=|CD*n|/|n|

点到平面的距离：设PA为平面的一条斜线，O是P点在a内的射影，PA和a所成的角为b，n为a的法向量。

易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离；

点到直线的距离：A∈l,O是P点在l上的射影，PA和l所成的角为b，s为l的方向向量。

易得：|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin|=|(PA|2|s|2|-|PA*s|2)1/2/|s|

平面内：直线ax+by+c=0到M(m,n)的距离为|am+bn+c|/(a2+b2)1/2

平行直线：l1：ax+by+c=0,l2：ax+by+d=0，l1到l2的距离为|c-d|/(a2+b2)1/2

备注：

直线是曲线的暂短停留。

应用点与直线一般情况下，点与直线的距离，是指点到直线的最短距离，即垂直距离。3

在二维直角坐标中，直线 Ax+By+C=0 与点 (p,q) 的最短距离为

给出向量式 和 点 ，则有距离

直线的相交点不考虑重合的情形，在二维平面中，两条相交直线可以相交或平行。

给定两条直线 和 ，二者相交的条件是

。

或等价地，

，

当中 。

这时两线的相交点可从克莱姆法则求得

相交直线夹角若两线相交，则会形成夹角。两线之间的夹角，通常指不大于90°的一只。

在二维平面上，给定直线y=mx+b，该线与x-轴的夹角为

。

给定两条直线 和 ，二者互相垂直当且仅当

。

而其他情况，两线相交所形成的夹角 （），则由

给出。

给定相交直线向量式 和 ，则有

。

直线的距离一般情况下，两条直线的距离，是指最短距离。

二维情况下，两条相交直线的距离必然为 0 。

若有两条平行直线 及，则有距离

。

给定平行向量式 和 ，则有

。