[科普中国]-四维矢量

四维矢量，是在狭义相对论里，四维矢量 (four-vector) 是实值四维矢量空间里的矢量。这四维矢量空间称为闵可夫斯基时空。四维矢量的分量分别为时间与三维位置。在闵可夫斯基时空内的任何一点，都代表一个事件，可以用四维矢量表示。应用洛伦兹变换，而不是伽利略变换 ，我们可以使对于某惯性参考系的四维矢量，经过平移，旋转，或递升（相对速度为常数的洛伦兹变换），变换到对于另一个惯性参考系的四维矢量。所有这些平移，旋转，或递升的集合形成了庞加莱群( Poincaré group)。所有的旋转，或递升的集合则形成了洛伦兹群(Lorentz group)。

数学性质四维位移定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里，四维位移可以用一只从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时，位移就是位置。关于四维矢量的理论，通常提到的是位移。
透过洛伦兹变换，给予一个事件对于某惯性参考系的四维坐标，即可计算出这事件对于另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很优良的物理性质。当研究物理现象时，所涉及的四维矢量，最好都能够具有这优良的性质。这样，可以使得数学分析更加精致犀利。

在计算这四维矢量对于时间的导数时，若能选择固有时为时间变量，则求得的四维矢量仍旧具有这优良的性质。因为，固有时乃是个不变量；改换惯性参考系不会改变不变量。

在闵可夫斯基时空内的任何一点，都可以用四维矢量（一组标准基底的四个坐标） 来表示；其中，上标 标记时空的维数次序。称这四维矢量为“坐标四维矢量”，又称“四维坐标”，定义为

；

其中，c 是光速， t是时间， 是位置的三维直角坐标。

为了确使每一个坐标的单位都是长度单位，定义 。

“四维位移”定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里，四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时，位移就是位置。四维位移 表示为

。

带有上标的四维矢量 称为反变矢量，其分量标记为

。

假若，标号是下标，则称四维矢量 为协变矢量。其分量标记为

。

在这里，闵可夫斯基度规 被设定为

。

采用爱因斯坦求和约定，则四维矢量的协变坐标和反变坐标之间的关系为

。

闵可夫斯基度规与它的“共轭度规张量” 相等：

。

动力学假设一个物体运动于闵可夫斯基时空。相对于实验室参考系，物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻，选择与这物体同样运动的惯性参考系，称为静止参考系。相对于这静止参考系，这物体的速度为零。随着物体不断地改变运动速度与方向，新的惯性参考系也会不断地改换为静止参考系。随着这些不断改换的静止参考系所测得的时间即为固有时，标记为 。这就好像给物体挂戴一只手表，随着物体的运动，手表也会做同样的运动，而手表所纪录的时间就是固有时。1

能量-动量关系式：

使用质能方程 ，

四维动量可以表示为： 。

四维动量与自己的内积为（即p的平方内积）：

。

改以四维速度来计算内积：

。

所以，能量-动量关系式为：

。

电磁学四维电流密度

在电磁学里，四维电流密度是一个四维矢量，定义为21

；

其中，是电荷密度，是三维电流密度。

在瞬间共动参考系所观测到的电荷密度，称为固有电荷密度。四维电流密度与四维速度的关系为

。

电荷守恒定律能以三维矢量表示为

。

这定律也能以四维电流密度表示为

。

从这方程，可以推论四维电流密度的四维散度等于零。

本词条内容贡献者为:

尚轶伦 - 副教授 - 同济大学数学科学学院