[科普中国]-单位根

定义

这方程的复数根 z为n次单位根。

单位的 n次根有n个：

。

单位的n次根以乘法构成n阶循环群。**单位根（unit root）**设n 是正整数，当一个数的n 次乘方等于1 时，称此数为n 次“单位根”。在复数范围内，n 次单位根有n 个。例如，1、－1、i、－i 都是4次单位根。确切的说，单位根指模为1的根，一般的x的n个单位根可以表示为： ，其中：k=0,1,2,..,n-1 ，i是虚数的单位。它的生成元是单位的n次本源根。单位的n次本源根是 ，其中k和n互质。单位的n次本源根数目为欧拉函数φ（n）。

例子单位的一次根有一个：1。1

单位的二次根有两个：+1和-1，只有-1是本原根。

单位的三次根是

其中i复数单位；除1外都是本源根。

单位的四次根是

{1,+i,-1,-i}

其中 + i和 - i是本源根。

性质性质一

n次单位根的模为1，即|εk|=1

性质二

两个n次单位根εj与εk 的乘积还是一个n次单位根，且εjεk =εj+k

推论1：εj-1=ε-j

推论2：

εkm=εmk

推论3：

若k除以n的余数为r，则εk=εr

注：它说明εk等价于r=0

推论4：

任何一个单位根都可以写成ε1的幂，即εk=ε1k

说明：除了ε1，还有没有另一个单位根εk使任何一个单位根都是εk的幂，回答是肯定的，并称这样的根为n次本原根，n次原根。从而所有n次单位根还可以写作

ε1,ε12,…,ε1n（ε0=1）

推论5：

一个n次单位根的共轭也是一个n次单位根，即εk=εn-k（‘表示共轭）

因为εkεk=|εk|2，εk=1/εk=ε-k=εn-k （由推论3）

注：由上证明看到1/εk=εk'，说明所有虚的n次单位根都成对共轭

推论6：

对任意整数k,h，有εkh=εhk

性质三

A=1+ε1m+ε2m+…+εn-1m当n|m时，A=n，否则A=0

推论1：

推论2：设εk≠1，则

性质四

全部单位根将复平面上单位圆n等分。

和式当n不小于 2时， n次单位根总和为 0。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数：

。

第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点，而从对称性知这多边形的重心在原点。

还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理，由分圆方程的xn-1项系数为零得出。