[科普中国]-模态逻辑

简介

模态逻辑，或者叫(不很常见)内涵逻辑，是处理用模态如“可能”、“或许”、“可以”、“一定”、“必然”等限定的句子的逻辑。模态逻辑可以用语义的“内涵性”来描述其特征: 复杂公式的真值不能由子公式的真值来决定的。允许这种决定性的逻辑是“外延性的”，经典逻辑就是外延性的例子。模态算子不能使用外延语义来形式化: “乔治·布什是美国总统”和“2 + 2 = 4”是真的，但是“乔治·布什必然是美国总统”是假的，而“2 + 2 = 4 是必然的”是真的。2

形式模态逻辑使用模态判决算子表示模态。基本的模态算子是 和 。(有时分别使用“L”和“M”)。它们的意义依赖于特定的模态逻辑，但它们总是以相互定义的方式来定义：

研究必然、可能及其相关概念的逻辑性质。逻辑的一个分支模态逻辑所研究的命题"必然 A"和"可能 A"与通常命题演算中的命题不同。后者是真值函项，前者不是。因为，当A真时，"必然A"既可以是真也可以是假；当A假时，"可能A"既可以是真也可以是假。模态命题演算是现代模态逻辑的基本内容之一。

释义在模态逻辑的最常见解释中，你要考虑“所有逻辑上可能的世界”。如果一个陈述在所有可能世界中是真的，则它是必然的真理。如果一个陈述碰巧在我们的世界中是真的，但不是在所有可能世界中是真的，则它是偶然的真理。在某些(不是必须在我们自己的)可能世界中是真的陈述叫做可能的真理。1

这种"可能世界"是否是解释模态逻辑的最佳方式，怎样在文字上接受这种方言，是形而上学的鲜活的问题。例如，可能世界的方言可以把关于大脚怪的断言翻译为“有某个可能世界，在其中大脚怪存在”。要主张大脚怪的存在性是可能的，但不是现实的，你可以说“有某个可能世界，在其中大脚怪存在；但是在现实世界中，大脚怪不存在”。但是对使模态断言对我们负责的那个东西是什么仍是不清楚的。我们真的要宣称可能世界的存在性吗？它在每一点都同我们的现实世界一样真实，却惟独不是现实的。David Lewis 强硬的说就是这样，可能世界同我们自己的世界一样真实。这种立场叫做“模态现实主义”。不足为奇的，多数哲学家不愿意接受这种特别的学说，在搜寻一种可替代的方式来释义我们的模态断言所蕴含的本体论承诺。

真势模态在真势模态逻辑(就是说必然性和可能性的逻辑)中 表示必然性，而 表示可能性。所以 Jones 有兄弟是“可能的”，当且仅当 Jones “没”有兄弟是“非必然的”。

句子被认定为

可能的 如果它“可能”为真(不管实际上是真是假);

必然的 如果它“不可能”为假;

偶然的 如果它“不是”必然为真，就是说，可能为真可能为假。偶然的真理是“实际上”为真，但“可能曾经不是”的真理。

模态三段论早在古希腊，亚里士多德详细研究过模态三段论。他把命题分为 3种：①实然命题的形式是，"a是b"；②必然命题的形式是，"a必然是b"；③偶然命题的形式是，"a偶然是b"。后两者属于模态命题。亚里士多德所说的"必然"，具有两种意义。在一种意义下,"a必然是b"表示"b"所指谓的性质,是"a"所指谓的事物的本质属性或本质属性的一部分。这是客观事物的必然性。由于在亚里士多德的理论中，本质与定义是相应的，因此也可以说，这是根据命题中语词的定义而得出的必然性。在另一种意义下，"a必然是b"表示 "a是b" 是由别的命题根据三段论推出的必然结论。这实质上是演绎推理的逻辑必然性。亚里士多德所说的"偶然"是一个含混的语词。在他的《工具论》中的有些地方，"a偶然是b"就是"a可能是b"。在这个意义上，"a必然是b"可推出"a偶然是b"。但在另外的地方，"a偶然是b"则是"a不必然是 b并且a不必然不是b"，或者是"a可能不是 b并且a可能是b"。在这一意义上，"a必然是b"就不能推出"a偶然是b",而"a偶然是b"却可推出"a不必然是b"。3

把"必然"和"偶然"这两个模态概念分别加到亚里士多德的4种实然命题A、E、I、O上去，就可得出8种模态命题。例如，"所有 a都必然是b"，"有些a偶然不是b"等。亚里士多德讨论了这8种模态命题的换质与换位，也讨论了这些命题之间的逻辑关系。他所提出的模态三段论，是至少有一前提是模态命题的三段论。他根据前提把模态三段论分为 8大类：①两个前提都是必然命题；②大前提是必然命题，小前提是实然命题；③大前提是实然命题，小前提是必然命题；④两个前提都是偶然命题；⑤大前提是偶然命题，小前提是实然命题；⑥大前提是实然命题，小前提是偶然命题；⑦大前提是偶然命提,小前提是必然命题；⑧大前提是必然命题,小前提是偶然命题。

亚里士多德的模态三段论实质上是一个公理系统。他像处理实然三段论（见三段论）一样，把模态三段论分为第1、第2和第3格，并把第1格的模态三段论看作完美的、不需要证明的,而且主要应用换位法和归谬法,就可以从第 1格的模态三段论推出其他的模态三段论。

亚里士多德的学生泰奥弗拉斯多也创造了一个不同的模态三段论系统。稍后，麦加拉 -斯多阿学派（见麦加拉－斯多阿学派逻辑）也对必然与可能这些模态概念进行了较深入的探讨。在公元 9～12世纪，阿拉伯逻辑学家吸取了古希腊有关模态逻辑的思想并有所发展。伊本·西那把模态概念和命题的时间结合起来，创造了一个新的模态三段论系统。12～15世纪的欧洲经院逻辑学家区别了命题模态与事物模态合的意义下的模态与分的意义下的模态。伪司各特还构造了一个在合的意义下的模态三段论系统和一个在分的意义下的模态三段论系统。奥康的威廉则构造了一个这样的模态三段论系统：其中一个前提是在合的意义下的模态命题，而另一个前提是在分的意义下的模态命题。此外，经院逻辑学家还研究了知道、怀疑、愿意等主观模态概念和应当、许可等道义概念的逻辑性质。

其他模态认识模态逻辑最经常用来谈论所谓的“真势模态”:“...是必然的”或者“....是可能的”，这些模态（包括形而上学模态和逻辑模态）最容易混淆于认识模态(来自希腊语episteme,知识):“...确实是真的”和“...（对给定的可获得的信息）或许是真的”。在普通的话语中这两种模态经常用类似的词来表达；下列对比可能有所帮助：

一个人Jones可以合理的“同时”说出：（1）“我确信大脚怪不可能存在”，还有（2）“大脚怪存在的确是可能的”。Jones通过（1）表达的意思是，对于给定的所有可获得的信息，大脚怪存在与否是没有疑问的。这是一个认识上的断言。通过（2）表达的意思是这个事物可能曾是其它样子的。他的意思不是“就我所知而言，大脚怪可能存在”。（所以这不矛盾于（1））。而是，他做了一个“形而上学”上的断定，“即使我不知道，大脚怪存在仍是可能的”。

在其他方面，Jones可以说（3）“哥德巴赫猜想可能为真，也可能为假”，还有（4）“如果它是真的，则它必然是真的，不可能是假的”。这里Jones的意思是，“就他所知而言，它为真为假都是在认识上可能的（哥德巴赫猜想仍未被证明是真还是假）。但是如果有这么一个证明（至今仍未发现），则哥德巴赫猜想为假在逻辑上是不可能的”。逻辑上的可能性是一种“真势”（alethic）可能性；（4）做了对一个数学真理曾经为假是否可能的一个断言，而（3）只做了对“就Jones所知而言”这个论断被证实为假是否可能的一个断言，所以Jones还是不自相矛盾。

认识上的可能性还以一种非形而上学的方式关注真实世界。形而上学的可能性以“可能曾是”的方式关注世界，而认识上的可能性以（就我所知而言）“可能正是”的方式关注世界。比如，我想知道在离开前是否要带把伞。如果你告诉我“外面可能在下雨” -- 在一种“认识上可能”的意义上--那么这会影响我是否带伞的决定。但是如果你告诉我“外面下雨是可能的” -- 在一种“形而上学上可能”的意义上--那么我从这种大道理中没有得到任何启示。

大量的哲学文献关心“真势”而非“认识”模态。（实际上，其中大多数关心一种最广泛的真势模态，就是逻辑可能性）。这不是说真势可能性比我们日常用的认识可能性更重要（考虑上面决定是否带伞的例子）。只是说在哲学研究中的优先权不是日常生活中的重要性带来的。

道义和时间言语中有一些类似的模式，尽管不大可能与真势模态混淆但仍密切的相关。其一是有关时间的谈论。明天可能会下雨，但也可能不下好像是合理的；在另一方面，如果昨天下雨了，如果实际上已经下了，则说“昨天可能没有下雨”就不是完全正确的。过去好像“固定的”或必然的，而将来在某种程度上不是。很多哲学家和逻辑学家认为这种推理不是很好；但是我们经常以这种方式谈话，所以最好有一种逻辑能捕获它的结构。类似的有关道德的谈论，或者说义务和规范一般好像也有模态结构。在“你必须这么做”和“你可以这么做”之间的区别看起来很像在“这是必然的”和“这是可能的”之间的区别。这种逻辑叫做道义逻辑，“道义”来自希腊语duty。

公理系统有很多有不同性质的模态逻辑。在其中很多必然性和可能性的概念满足下列德·摩根定律的联系：

"X是非必然的"等价于"非X是可能的"。

"X是非可能的"等价于"非X是必然的"。

尽管模态逻辑教科书比如Hughes和Cresswell的《A New Introduction to Modal Logic》覆盖了这个定律不成立的一些系统。

模态逻辑向命题逻辑的“合式公式”增加上必然性和偶然性。在一些记号中“必然的p”使用“方块”（ ）表示，而“可能的p”使用“菱形”（ ）表示。无论是什么样的记号，两个算子是以相互定义的方式定义的：

（必然的p）等价于 （非可能的非p）

（可能的p）等价于 （非必然的非p）

因此， 和 叫做对偶算子。

要建立模态逻辑的可用系统，必须向命题逻辑的增加什么公理是非常有争议的主题。得名于Saul Kripke的K，只向经典命题逻辑公理体系增加了如下规则：

必然性规则：如果p是 K的定理，则也是。

分配律公理：如果 则 （这也叫做公理K）

但K是一个弱模态逻辑。特别是留下了一个公开的问题，命题是必然的但只偶尔是必然的。如果 为真则 为真不是K的定理，它是说，必然的真理必然是必然的。这可能不是K的大缺陷，因为这些好像是十分奇怪的问题，而试图解答它们的任何尝试都把我们卷入混乱的难题中。无论如何，对这种问题的不同解决方式生成了不同的模态逻辑系统。

这些规则缺乏从p的必然性到p的实际情况的公理，所以通常要补充上下列“自反性”公理，这就生成经常叫做T的一个系统。

（如果p是必然的，则p是事实）

这是多数但不是全部模态逻辑系统的规则。Jay Zeman的书《Modal Logic》覆盖了没有这个规则的系统如S1^0。

其他周知的基本公理：

4:

B:

D:

5:

这些公理产生的系统：

K:=K+N

T:=K+T

S4:=T+4

S5:=S4+5

D:=K+D.

K到S5形成了嵌套的系统层级，建造了正规模态逻辑的核心。D主要对探索模态逻辑的道义解释的人有价值。

今天最常见的系统是模态逻辑S5，它通过增加使所有模态真理是必然的公理来粗壮的解答了这个问题：例如，如果p是可能的，则p必然是可能的，如果p是必然的，则它必然是必然的。很多人认为它正当的根据是，它是在我们需要每个可能的世界相对于每个其他世界都是可能的时候所获得的系统。不过，模态逻辑的其他系统已经被公式化了，部分的因为S5不能很好的适合我们感兴趣的所有种类的形而上学模态。（若此则意味着可能的世界的谈论不能很好的适合这些种类的模态）。

模态命题演算模态命题演算是现代模态逻辑的基本内容之一。它是应用数理逻辑的方法研究模态命题逻辑的结果。最先开始这方面研究的是19世纪末的H.麦克考尔(1837～1907)。在他的影响下，美国哲学家、逻辑学家C.I.刘易斯于1914年构造了一个模态命题演算。他用～（不可能）作为基本符号,通过定义p叾q呏～(p-q)引入严格蕴涵。这里,"叾"是严格蕴涵符号,"呏"是定义符号，～ (p-q)解释为不可能（p真并且q假）。后来刘易斯又不断改进其模态系统，包括改进他所用的符号。1932年，他提出了 5个以"◇"（可能）为基本符号的模态命题演算S1,S2,S3,S4,S5。

20世纪30年代以后，出现了许多模态命题演算。其中，模态命题演算T是一个很简单并且直观性很强的系统。它是在一个完全的命题演算上再加上

①一个基本符号：L；

②一条形成规则：如果 A是合式公式，则LA是合式公式；

③两条公理：

Lp →p，

L(p →q) →(Lp →Lq)。

④一条推理规则：如果p是定理，则Lp是定理。

该演算中的基本符号L可以解释为必然；引入符号M可以解释为可能。公理Lp→p可以解释为：如果必然p是真的，则p是真的；公理L(p →q)→(Lp →Lq)可以解释为：当必然（如果p，则q）是真的，并且必然p是真的，那么必然q是真的。必然性规则可以解释为：如果p是定理，则必然p是定理。

模态谓词演算1946年，R.C.巴肯和R.卡尔纳普各自独立地构造了一个模态谓词演算。巴肯的模态谓词演算，实质上是在刘易斯的模态命题演算S2上再加个体词、谓词和量词，以及有关的形成规则，公理和推理规则的结果。在这个演算中，有下面这样一条公理：

M(ヨx)fx →(ヨx)Mfx

这一公式通常叫做巴肯公式。其解释是：如果可能有的个体有f 性质，则有的个体可能有f 性质。但在巴肯的演算中，(ヨx)Mfx →M(ヨx)fx却不是定理。

模型40年代末，卡尔纳普开始从语义方面研究模态逻辑。50年代末到60年代初，S.坎格尔、J.欣梯卡与S.A.克里普克等人发展了卡尔纳普的理论，提出了比较完整的模态逻辑的模型理论。克里普克所构造的模态命题演算的模型,是一个三元组〈W、R、V〉。其中W是许多可能世界的集合。一个可能世界,从直观上说，也就是一个由许多互不矛盾但不一定现实的事物情况所组成的总体；R是可能世界之间的二元关系；V是满足某些条件的赋值。而模态谓词演算的模型,则在W、R、V之外至少还要加上个体域 D。根据这样的模型就可定义模态常真式。

趋势和意义60年代以来模态逻辑有很大发展，出现了许多新的系统，特别出现了许多非标准的模态逻辑系统，如认知逻辑、道义逻辑、时态逻辑等。模态逻辑由于研究和阐明了必然、可能、应当、知道等本体论和认识论概念的逻辑性质，因而具有深刻的哲学意义。