[科普中国]-后验概率

简介

后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，是“执果寻因”问题中的"果"。先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础2。

事情还没有发生，要求这件事情发生的可能性的大小，是先验概率。事情已经发生，要求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小，是后验概率。

先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的，而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的；后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料，既有先验概率资料，也有补充资料；

先验概率的计算比较简单，没有使用贝叶斯公式；而后验概率的计算，要使用贝叶斯公式，而且在利用样本资料计算逻辑概率时，还要使用理论概率分布，需要更多的数理统计知识。

实例假设一个学校里有60%男生和40%女生。女生穿裤子的人数和穿裙子的人数相等，所有男生穿裤子。一个人在远处随机看到了一个穿裤子的学生。那么这个学生是女生的概率是多少？

使用贝叶斯定理，事件A是看到女生，事件B是看到一个穿裤子的学生。我们所要计算的是P(A|B)。

P(A)是忽略其它因素，看到女生的概率，在这里是40%

P(A')是忽略其它因素，看到不是女生（即看到男生）的概率，在这里是60%

P(B|A)是女生穿裤子的概率，在这里是50%

P(B|A')是男生穿裤子的概率，在这里是100%

P(B)是忽略其它因素，学生穿裤子的概率，P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')，在这里是0.5×0.4 + 1×0.6 = 0.8。

根据贝叶斯定理，我们计算出后验概率P(A|B)

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)=0.25

可见，后验概率实际上就是条件概率。3

解释1、当根据经验及有关材料推测出主观概率后，对其是否准确没有充分把握时，可采用概率论中的贝叶斯公式进行修正，修正前的概率称为先验概率，修正后的概率称为后验概率，利用后验概率再进行风险分析。

2、信息技术革命加快了人类迈向信息社会实际情况的进程，世界信息服务业正在成为最强劲的实质上，它是以新的信息做为条件的条件概经济增长点。

3、P{H0|x}是给定观测值x条件下H0出现的概率，统称为后验概率。根据贝叶斯公式，后验概率可表示为P{H0|x}=P（H0）P{x|H0}/P（x），P{H1|x}=P（H1）P{x|H1}/P（x）。式中，P（x）为x的概率密度。

4、也就是获得条件概率P(ωωt-k)，这个概率常常称为后验概率。利用后验概率进行系统的状态决策无疑是更加合理的方法，因为它充分利用了先验知识和观测到历史时间变量的信息。

5、这个概率称为后验概率，根据贝叶斯规则计算如下：P[^ωΦ(t)]=maxωP[Φ(t)ω]P(ω)P[Φ(t)]，这里的条件概率P[Φ(t)ω]是比较故障模型和输入模式之间符合程度的结果。

例子举一个简单的例子：一口袋里有3只红球、2只白球，采用不放回方式摸取，求：

⑴ 第一次摸到红球（记作A）的概率；

⑵ 第二次摸到红球（记作B）的概率；

⑶ 已知第二次摸到了红球，求第一次摸到的是红球的概率。

解：

⑴ P(A)=3/5，这就是验前概率；

⑵ P(B)=P(A)P(B|A)+P(A逆)P(B|A逆)=3/5

⑶ P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)=1/2，这就是后验概率。