[科普中国]-三次方程

历史

中国唐朝数学家王孝通在武德九年（626年)前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。1

波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则。

在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形如{\displaystyle x^{3}+mx=n\,}的方程。事实上，如果我们允许{\displaystyle m\,},{\displaystyle n\,}是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。

尼科洛·塔尔塔利亚被认为是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一场数学竞赛中解出所有三次方程式的问题。随后卡尔丹诺拜访了塔尔塔利亚请教三次方程式解法并得到了启发。卡尔丹诺注意到塔尔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算，但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是复数的发现者。

解法设方程为2

一元三次方程一般形式为

，

其中 和 ( )是属于一个域的数字，通常这个域为R或C。

则有

X1·X2·X3=-d/a；

X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a；

X1+X2+X3=-b/a。

解法思想一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解。

解法发现中国南宋伟大的数学家秦九韶在他1247年编写的世界数学名著《数书九章》一书中提出了数字一元三次方程与任何高次方程的解法“正负开方术”，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多。现在，这种方法被后人称为“秦九韶程序”。世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。

欧洲三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的．

最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战．塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所以被人称为塔尔塔利亚（意为"口吃者"）．他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学．这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题．当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里．在书中他写道："波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔．菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明．这是很难做到的．"卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权．他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突。最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的。

三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解法被保留了下来。

由于卡尔丹在1545年首先发表了三次方程X3+pX+q=0的解法，因此数学资料称此解法为“卡尔丹公式”并沿用至今。

以下介绍的三次方程X3+pX+q=0的解法，就是上文中提到的卡尔丹公式解法。

公式解法一元三次方程求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A1/3+B1/3型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：

（1）将x=A1/3+B1/3两边同时立方可以得到

（2）x3=(A+B)+3(AB)1/3(A1/3+B1/3)

（3）由于x=A1/3+B1/3，所以（2）可化为 x3=(A+B)+3(AB)1/3x，移项可得

（4）x3－3(AB)1/3x－(A+B)=0，和一元三次方程和特殊型x3+px+q=0作比较，可知

（5）－3(AB)1/3=p,－(A+B)=q，化简得

（6）A+B=－q，AB=-(p/3) 3

（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即

（8）y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a

（9）对比（6）和（8），可令A=y1，B=y2，q=b/a，-(p/3)=c/a

（10）由于型为ay+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1=(-b+(b－4ac)1/2）/(2a)

y2=(-b-(b－4ac)1/2)/(2a)

可化为

（11）y1=－(b/2a)-((b/2a)-(c/a))1/2

y2=－(b/2a)+((b/2a)-(c/a))1/2

将(9)中的A=y1，B=y2，q=b/a，-(p/3)=c/a代入（11）可得

（12）A=－(q/2)-((q/2)+(p/3)1/2

B=－(q/2)+((q/2)+(p/3))1/2

（13）将A，B代入x=A1/3+B1/3得

（14）x=－(q/2)-((q/2)+(p/3))1/2)1/3+(－(q/2)+((q/2)+(p/3))1/2)1/3

式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

注意此处的三次方程是实数域的。

三角函数解，其中。

若令，则

缺陷三次方程x3-7x+6=0

用因式分解法得

(x-1)(x-2)(x+3)=0

三个根为1,2,-3

应用公式求出的A，B为虚数，将得到非常复杂的算式，导致无法计算出解。

其他解法因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x3-x=0

对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1。

另一种换元法对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x3+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z代入并化简，得：z-p/27z+q=0。再令z=w代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x。

盛金公式解法三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．

盛金公式一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。3

重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，

总判别式：Δ=B2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①：

X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②：

X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)；

X2,3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±i31/2((Y1)1/3－(Y2)1/3)/(6a)，

其中Y1,2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。

当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：

X1=－b/a+K；

X2=X3=－K/2，

其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B2－4AC0，－1