[科普中国]-超越函数

定义

如三角函数、对数函数，反三角函数，指数函数，等就属于超越函数1。如y=arcsinx，y=cosx，它们属于初等函数中的初等超越函数。

超越函数是指那些不满足任何以多项式作系数的多项式方程的函数**2。**说的更技术一些，单变量函数若为代数独立于其变量的话，即称此函数为超越函数。例如，对数函数和指数函数即为超越函数。 超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数，例如正弦、余弦、正割、余割、正切、余切、正矢、半正矢等。

函数的不定积分运算是超越函数的丰富来源，如对数函数便来自代数函数的不定积分。在微分代数里，人们研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数，例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。

在数学领域中，超越函数与代数函数相反，是指那些不满足任何以多项式作系数的方程的函数，即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程。换句话说，超越函数就是"超出"代数函数范围的函数，也就是说函数不能表示为有限次的加、减、乘、除、乘方和开方的运算。

严格的说，关于变量 z 的解析函数 f(z) 是超越函数，那么该函数是关于变量z是代数独立的。

非超越函数则称为代数函数，代数函数的例子有多项式和平方根函数3。

对代数函数进行不定积分运算能够产生超越函数，如对数函数便是在对双曲角围成的面积研究中， 对倒数函数y = k/x不定积分得到的， 以此方式得到的双曲函数sinhx、 coshx、tanhx都是超越函数。

微分代数的某些研究人员研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数，例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。

量纲分析在量纲分析里，超越函数是非常有用的，因为它们只在其参数无量纲时才有意义。因此，超越函数可以是量纲错误的显著来源。

例如，lg(10 m)是个毫无意义的表示式， lg(10 m)不同于 lg(5 m / 3 m) 和 log(3) m，后两者是有实际意义的。

利用对数恒等式， 将 lg(10m)展开为lg(10) + lg(m)能够更清晰的说明该问题：一个有量纲的非代数运算会产生无意义的结果。