[科普中国]-正惯性指数

详细介绍

实二次型的规范形(normal form ofreal quadratic form)

任意一个实系数的二次型f(x1，x2：，…，xn)总可以经过实系数的非退化线性替换X=CY化为平方和的形式，称作实二次型f(x1，x2，…,xn)的规范形，其中平方项的个数r等于二次型的秩．任一实二次型的规范形是唯一的，即若实二次型f(x1，x2，…,xn)经过实系数非退化线性替换X=DZ变成规范形，则有p=q，这就是实二次型惯性定理．在实二次型f(x1，x2，…,xn)的规范形中，正平方项的个数p称为实二次型的正惯性指数，负平方项的个数r一p称为实二次型的负惯性指数，正负惯性指数的差p-（r-p）=2p-r称为实二次型的符号差．在非退化实线性替换下，实二次型的秩、正惯性指数、负掼性指数、符号差都是定值．1

把二次型f所化得的标准二次型的平方项的系数中,正的个数和负的个数分别称为f的正惯性指数和负惯性指数．

正负惯性指数之和=f的秩．

用矩阵的语言来表述即：与一个给定的实对称矩阵A合同的对角矩阵的对角线元素中,正的个数和负的个数是由A确定的，把这两个数分别称为A的正惯性指数和负惯性指数．合同于A的规范对角矩阵是唯一的，其中的自然数p，q就是A的正，负惯性指数．2

由惯性定理可知，二次型的正、负惯性指数是由二次型本身唯一确定的．事实上，正(负)惯性指数即为二次型矩阵A的正(负)特征值的个数．

从化标准形为规范形的过程看到，标准形中正(或负)平方项的个数就是正(或负)惯性指数．因此，虽然一个二次型有不同形式的标准形．但每个标准形中所含正(或负)平方项的个数是一样的．3

相关定理定理1 两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等．(即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等．)2

定理2 实对称矩阵A的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数．2

推论 两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正(负)特征值的个数都相等．2