[科普中国]-位置矢量

定义

位置矢量是在某一时刻，以坐标原点为起点，以运动质点所在位置为终点的有向线段。

仿射几何学定义：A为仿射空间，若确定任意一点 ，则使 的A的元素p与V的元素α有一一对应的关系。这样的α称为以O为起点的p的位置矢量，以 表示。1

说明①质点在参照系内选定坐标系中的位置矢量，是一根由坐标系原点指向质点所在位置的有向线段，如图的r。

②对于直角坐标系，质点的位置矢量可用x、y、z来确定，其大小为 。其方向的余弦分别为 ，且 。

与位移的区别位矢描述的是在某一时刻运动质点在空间中的位置；而位移描述的是在某一时间间隔内运动质点位置变动的大小和方向。位矢与时刻相对应；位移与时间间隔相对应。

矢量运算1. 矢量A和B相加定义为两矢量的和，用新矢量A+B表示。用的平行四边形法则或首尾相接法则进行

A和B相减定义为两矢量的差，用新矢量A-B表示。写为A-B=A +(-B)，按B反向再与A相加。

矢量的加（减）运算法则：

交换律：A+B=B+A；

结合律：A+B-C=A+(B-C)=(A+B)-C。

2. 标量ƒ与矢量A的乘积定义为一新矢量ƒA，它是A的ƒ倍。

3. 两矢量A和B的标量积定义为标量 ，又称为点积。其量值为两矢量的模与两矢量间夹角α (0≤α≤180°)的余弦之积

特点：

（1）两矢量的点积为一标量，其正、负取决于α是锐角还是钝角；

（2）点积遵从交换律；

（3）A与B相互垂直，|A||B|cosα=0，反之亦然；

（4）在直角坐标下A、B的点积运算：将两矢量的各分量逐项点乘。矢量的点积遵循分配率。

4. A和B的矢量积表示为A×B，又称为叉积。

特点：

（1）两矢量的叉积是一个矢量；

（2）叉积不遵从交换率，应是A×B=-(B×A)；

（3）A、B相平行（α= 0或180°）时，A×B=0，反之亦然------两矢量平行的充要条件；

（4）A自身的叉积为零，即A×A=0。

相对位置矢量相对位置矢量可表示空间任意两点之间的位置关系。R是以P'点为起点、P点为终点的空间矢量，它的模表示P点相对于P'点的距离，它的方向表示P点相对于P'点所处的方位，则称R为P点相对于P'点的相对位置矢量。

若考虑P'点相对于P点的相对位置矢量R'，则R'的方向是由P点指向P'点，有R'=-R。

任何真实的物理场，都有其产生的根源即所谓的场源，例如静止电荷是静电场的场源，恒定电流是恒定磁场的场源，等等。场源和它所产生的物理场总是与空间概念联系在一起的。以后我们将要研究的电磁场和它的源之间存在的关系，其中场源所在位置的点和需要确定场量（如电场强度矢量和磁场强度矢量）的点需要在名称和符号上加以明确的区分。场源所在位置的点简称源点，用加撇的源点坐标 (x', y', z') 或r'表示；需要确定场量的点简称场点，用不带撇的场点坐标（x, y, z）或r表示。于是，R就具有了场点相对于源点的相对位置矢量的特殊含义。

至于空间普通两点的相对位置矢量，可通过加双下标予以区别，如将P2点相对于P1点的相对位置矢量记为R12，其方向是由P1点指向P2点。

相对坐标函数与相对位置矢量有关的一类函数，其变量为场点与源点的坐标差。相对坐标标量函数和相对坐标矢量函数分别记为。