[科普中国]-剩余变量

定义

在管理运筹学的线性规划模型中，对于“≥”约束条件，可以增加一些代表最低限约束的超过量，称之为剩余变量，从而把“≥”约束条件变为等式约束条件。1

在线性规划中，一个大于等于约束条件中超过资源或能力最底限的部分称之为剩余量。

对于 ，假如最优解为（150,110）那么剩余量就为10。

类似地，在线性规划中，小于等于约束条件中未被使用的资源或能力的值成为松弛量。

对于 ，假如最优解为 （150,140）那么本约束的松弛量就为10。

在线性规划的单纯形法中也会用到此概念。2

在《数学辞海》第五卷中解释如下：3

剩余变量是线性规划问题中引入的变量.当不等式约束条件为

在不等式的左端减去变量xn+i，使成为

则称xn+i为剩余变量.剩余变量取非负值.

应用经济学经济学领域中，剩余变量表示在一个经济决策中超额满足最低需求的量。

若为正，表示超额满足最低需求，若为负，表示没有满足最低需求。其结果不影响收入，也不影响支出。因此，剩余变量本身也是零价格的。

在引入剩余变量，把线性规划化为标准形式时，也正是这样做的。

在《现代管理辞典》中定义如下：4

为将线性规划问题的数学模型化为标准型而从约束方程中减去的变量。剩余变量大于或等于零。其经济意义通常是剩余的生产能力、价值等。

线性规划剩余变量、松弛变量和人工变量是单纯形法中的三种重要变量。约束条件中，存在不等式时，如果是左边式≤右边的资源限量则加入松弛变量，将≤号变为=号；如果是左边式≥右边的资源限量则减去剩余变量，将≥号变为=号。5

相关概念单纯形法1939 年前苏联数学家康托洛维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划（LP）问题，1947 年美国数学家丹捷格提出了求解线性规划问题的著名方法———单纯形法。在单纯形法中，涉及到三种变量——剩余变量、松弛变量及人工变量。

松弛变量剩余变量和松弛变量容易区分，剩余变量的引入将“≥”的不等式约束化为等式约束，而松弛变量的引入将“≤”的不等式约束化为等式约束，它们的目的都在于将一般形式化为标准形式。改写前后的两个问题是等价的，这两种变量的取值能够表达现行的可行点是在可行域的内部还是其边界，也就是说，在此可行解处，原来的约束是成立严格不等式还是等式。因此，剩余变量、松弛变量是“合法”的变量。2

在经济学领域，松弛变量表示在一个决策过程中原料消耗的剩余量。

若为正，表示有剩余；若为零，表示没有剩余。其结果不影响收入，也不影响支出。因此，松弛变量本身是零价格的。表现在目标函数中，松弛变量的系数为零。在引入松弛变量，把线性规划化作标准形式时，正是这样做的。

人工变量人工变量和剩余变量、松弛变量是不同的概念。人工变量的引入，改变了原来的约束条件，目的在于从辅助问题的一个基本可行解出发求出原问题的初始基本可行解，并且在第一阶段要用单纯形法消去人工变量，即把人工变量变成非基变量，因为只有当人工变量都等于0 时，求出来的基本可行解才有意义。从这个角度来讲，人工变量是人为加上的虚拟变量，是“不合法”的变量。2